§7.3估计量的优良性准则 从前面两节的讨论中可以看到： ·同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 ● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计，也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量 “好”与“坏”的标准
从前面两节的讨论中可以看到: ● 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 ● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量 “好”与“坏”的标准。 §7.3 估计量的优良性准则
7.3.1无偏性 设总体的分布参数为0，(X,X2,.,Xn) 简记为是0的一个估计（注意！它是一个统 计量，是随机变量。对于样本X,X2,X 的不同取值，取不同的值)。如果日的均 值等于0，即 E[0(X,X,.,Xn)]=0 对一切可能的0成立，则称6为0的无偏估计
设总体的分布参数为， 对一切可能的 成立,则称 为 的无偏估计。 7.3.1 无偏性 对于样本 X1,X2,,Xn 的不同取值， 取不同的值)。 ( , , , ) ˆ X1 X2 X n ˆ 如果 的均 值等于，即 E[ ˆ (X1 , X2 , , X n )] = ˆ ˆ 简记为 是 的一个估计(注意! 它是一个统 计量，是随机变量。 ˆ
说明：无偏性的意义是：用估计量估计 参数日，有时可能估计偏高，有时可能偏低， 但是平均来说它等于0。 “一切可能的0”是指：在参数估计问题 中，参数0一切可能的取值。 我们之所以要求对一切可能的都成立， 是因为在参数估计问题中，我们并不知道参数 0的真实取值。自然要求它在参数0的一切可 能取值的范围内都成立 E[0(X1,X2,.,Xm】=0
参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低， 但是平均来说它等于。 “一切可能的”是指：在参数估计问题 中，参数 一切可能的取值。 我们之所以要求对一切可能的都成立， 是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数 的真实取值。自然要求它在参数 的一切可 能取值的范围内都成立 说明：无偏性的意义是：用估计量 ˆ 估计 ( , , , )] . ˆ [ E X1 X2 Xn =
例如：若O指的是正态总体N(山，o)的均值山， 则其一切可能取值范围是(-∞，∞)。若指的 是方差o,则其一切可能取值范围是(0，∞)。 例1：设X,X,.,X为抽自均值为4的总体X 的随机样本，考虑μ的如下几个估计量： 41=X, 因E(A)=E(X,)=4, 所以，是u的无偏估计。 @四的
例1：设X1 , X2 , . , Xn 为抽自均值为的总体X 的随机样本，考虑 的如下几个估计量： 例如：若 指的是正态总体N(, 2 )的均值, 则其一切可能取值范围是(-∞ , ∞)。若 指的 是方差 2，则其一切可能取值范围是(0,∞)。 所以， 是 的无偏估计。 因 ˆ ( ˆ ) ( ) , ˆ 1 1 1 1 1 = = = E E X X
X1+X2 2 因E(a2)=4,所以，在2是4的无偏估计。 A=X+x+x+x (n≥4) 4 是u的无偏估计。 4=2X 是有偏估计。 4=+名 是有偏估计： 3 @@风
因 ( ˆ ) , 所 以, ˆ 是 的无偏估计。 2 ˆ 2 2 1 2 2 = + = E X X 是 的无偏估计。 ( 4) 4 ˆ 1 2 1 3 + + + = − n X X Xn Xn ˆ 4 = 2X1 是有偏估计。 是有偏估计。 3 ˆ 1 2 5 X + X =