§7.5 正态总体的区间估计（二） 在实际应用中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。例如：考察一项新技术 对提高产品的某项质量指标的作用，将实施 新技术前的产品质量指标看成正态总体N(4, σ)，实施新技术后产品质量指标看成正态 总体N,2)。 于是，评价新技术的效果问题，就归结 为研究两个正态总体均值之差4山的问题
§7.5 正态总体的区间估计(二) 在实际应用中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。 于是，评价新技术的效果问题，就归结 为研究两个正态总体均值之差 1-2的问题。 例如：考察一项新技术 对提高产品的某项质量指标的作用，将实施 新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(1 , 1 2 )，实施新技术后产品质量指标看成正态 总体N(2 , 2 2 )
定理1：设X,X2,Xm是抽自正态总体 X的简单样本，X~N(4,o2),样本均值与样 本方差为 m i=l Y,Y,Yn是抽自正态总体Y的简单样本， Y~N(42,2),样本均值与样本方差为 7=Σx、$=nΣ- @回函
定理1：设X1 , X2 , ···, Xm是抽自正态总体 X的简单样本，X～N(1 , 1 2 )，样本均值与样 本方差为 Y1 , Y2 , ···, Yn 是抽自正态总体Y的简单样本， Y～N(2 , 2 2 )，样本均值与样本方差为 ， 2 ； 1 2 1 1 ( ) 1 1 1 X X m X S m X m i i m i i − − = = = = ( ) . 1 1 , 1 2 1 2 2 1 Y Y n Y S n Y m i i n i i − − = = = =
当两样本相互独立时，有 1-y4-4高 (1) Ⅱ当o7=o=o3,σ未知时， (区-)-(h-）-tn2 (2) Svm+n 其中s2=(m-1)S+(n-10S m+n-2
I. ~ , (1) 2 2 2 1 1 2 ； − − + m n σ X Y N ~ . (2) ( ) ( ) II. 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 + − − − + − − − = = m n t S m n X Y 当 ， 未知时， . 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 + − − + − = m n m S n S 其 中S 当两样本相互独立时，有
证明：I.由基本定理（见定理6.4.1），知 X~N(4,o1m)Y~N(4,o/n). 由两样本相互独立，灭与7也相互独立。 故，(1)式成立； IⅡ当o2=o7=o2时，S2与S5都是o2 的估计，由基本定理，得 σ2 且二者相互独立。 @四因
的估计，由基本定理，得 当 时 ， 与 2 都 是 2 2 2 1 2 2 2 2 1 II. = = S S 证明: ~ ( , / ) ~ ( , / ). 2 2 2 2 X N 1 σ1 m ，Y N n 由两样本相互独立， X 与Y 也相互独立。 I.由基本定理(见定理6.4.1)，知 故，(1) 式成立； 且二者相互独立。 ( 1) ( 1) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − ， − ， − − m n ~ χ σ n S ~ χ σ m S
根据x分布的可加性，有 (m-1)S+(n-1)S号 (3) 03 另一方面，当=o=σ时，由1)式，得 -了-(4-2-N0,1), (4) ovm +n 且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由t 分布的定义，得
另一方面，当1 2 = 2 2 = 2 时 ， 由(1)式，得 根据 2 分布的可加性，有 且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由t 分布的定义，得 (3) ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2 1 + − ； − + − m n ~ χ σ m S n S ~ (0, 1) (4) ( ) 1 1 1 2 N ， m n X Y − − + − − −