定义2令 =Vx,x]=Vx好+x++x, 称x为n维向量x的长度（或范数） 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x9 3.三角不等式x+y≤+外
定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 , , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x 0时, x 0;当x = 0时, x = 0; x = x ; x + y x + y
单位向量及n维向量间的夹角 (1)当x=1时，称x为单位向量. (2)当x≠0，y≠0时，0=arccos [x,y] y 称为n维向量x与y的夹角. 例1求向量=(1,0,1)'与B=(0,0,1)'的夹角. 解· c0s0= a·B _1√2 -al-V212 π .0= 4
单位向量及n维向量间的夹角 求向量 ( ) 与 ( ) 的夹角. T T 例 1 = 1,0,1 = 0,0,1 解 cos = 2 2 2 1 1 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
二、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当xy=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 正交向量组的概念 2 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组
２ 正交向量组的概念 １ 正交的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 二、正交向量组的概念及求法
3正交向量组的性质 定理1若n维向量1,2，.，x,是一组两两正交的 非零向量，则ac1,a心2，.，a,线性无关. 证明 设有入1,2，.，几，使 入01+入0C2+.+九0.=0 以aT左乘上式两端得21c1a1=0 由a&1≠0→a1a1=12≠0，从而有21=0. 同理可得人2=.=九，=0.故41,2，.，C,线性无关
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 1 1 +2 2 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
例2已知三维向量空间中两个向量 正交，试求a,使a,a2,0构成三维空间的一个正 交向量组 解设a3=(1,2,x3≠0，且分别与a1,a2正交. 则有[a1,c3】=[a2,a3l=0
例2 已知三维向量空间中两个向量 − = = 1 2 1 1 1 2 1 2 , 正交，试求 使 构成三维空间的一个正 交向量组. 3 1 2 3 , , ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T 解 x x x 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0