吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 50-5-4 §4 对称矩阵的相似矩阵

P-AP=∧ 其中对角矩阵Λ的对角元素含个入，2个入2，…，个入， 恰是A的m个特征值 4 例1设 A 求一个正交矩阵P,使PAP=人为对角矩阵 解①由4一入E=0,求A的全部特征值. 4-入0 0 A-入E 3-入1 =(4-入)22-6入+8) 13-入

. 1 =  − P AP , , , , 1 1 2 2 s s 其中对角矩阵的对角元素含r个 r 个  r 个 恰是A的n个特征值. 例1 设 , 0 1 3 0 3 1 4 0 0           A = , . 求一个正交矩阵P 使P −1 AP = 为对角矩阵 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. −  −  −  −  = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E (4 )( 6 8) 2 = −  −  +

=2-入(4-入)2=0 得A的特征值为入，=2，入2=入，=4 (2)由(A-入E)x=0,求A的特征向量当)=2时，由 x 解得 k0任意 取c

(2 )(4 ) 0 2 = − − = 2, 4. 得A的特征值为1 = 2 = 3 = (2).由(A−E)x = 0,求A的特征向量.当1 = 2时,由 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 3 2 1           =                     x x x , 1 1 0 1 3 2 1           − =           k x x x 解得 k1≠0任意. , 1 1 0 1           − 取c = . 1 1 0 2 1 1           − 单位化p =

当入2=入3=4时，由 解得 =k0 k, 基础解系中两个向量恰好正交，单位化得两个正交的 单位的特征向量

当2 = 3 = 4时,由 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 3 2 1           =                     − − x x x 基础解系中两个向量恰好正交,单位化得两个正交的 单位的特征向量. . 1 1 0 2 1 , 0 0 1 2 3           =           p = p 1 2 1 2 3 1 0 0 1 , 0 1 x x k k x             = +                   解得

(3)将求得的pP2,拼成一个正交矩阵P即 P=(P,P2,P3) 51万 (4)可以验知确有 P-AP=PAP

(4)可以验知确有 . 0 0 4 0 4 0 2 0 0 1 T           = = − P AP P AP 1 2 3 0 1 0 1 1 ( , , ) . 0 2 2 1 1 0 2 2 P p p p         = =       −    1 2 3 p p p P (3) , , . 将求得的 拼成一个正交矩阵 即

在此例中对应于λ=4，若求得方程(A一入E)x=0的基 础解系 6 则测需把它施密特标准正交化： I

在此例中对应于λ=4,若求得方程(A－ λ E) x = 0 的基 础解系 则需把它施密特标准正交化: . 1 1 1 3 1 1 1 1           = = b b e 1 2 1 1 1 , 1 , 1 1       −     = =             1 1 令b =