§5.二次型及其标准型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ● ax"+bxy+cy2 =1 。的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换： x=x'cose-y'sin 0 y x'sin 0+y'cos0 把方程化为标准形 mx2+ny'2=1
§5. 二次型及其标准型 ⚫ 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ⚫ ⚫ 的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换： ⚫ ⚫ 把方程化为标准形 1 (1) 2 2 ax +bxy+ cy = = + = − sin cos cos sin y x y x x y 1 2 2 mx + ny =
ax2+bxy+cy2 =1 (1) (1)的左边是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看， 化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问 题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论个变量的二次齐 次多项式的化简问题
(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看， 化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问 题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐 次多项式的化简问题。 1 (1) 2 2 ax +bxy+ cy =
一、」 二次型概念 定义1：含有n个变量x1,x2,…xn的二次齐次函数 f(x)=ax+2a2x2+2axx +a22X2+…+2a2nX2x =∑∑ax 其中 a ji 2arxxj =arx xj+anxxi
一、二次型概念 定义1：含有n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次函数 n n n f x x x a x a x x a x x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( , , , ) = + 2 ++ 2 n n a x a x x 2 2 2 22 2 + ++ 2 2 nn n ++ a x = = = n i n j ij i j a x x 1 1 i j j i i j i j i j i j j i j i a = a , 2a x x = a x x + a x x 其中
二次型的矩阵形式 fx…,x)=∑∑a, i=1= =x (ax +a2x2+...+ainx,) +x2(a21x1+a22x2+…+a2mxn) +xn (anx+an2x2++amxn)
二次型的矩阵形式 = = = n i n j n i j i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + + + + + + + n n n n n n n nn n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x
ax1+a2X2+…+anxn =(X1,x2,…,Xn） a21+022+…ta2mxn anlX1+an2X2+…+amxn =(x…xn〉 21 02 02n an nn Xn x"Ax
+ + + + + + + + + = n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , ) ( ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = T = x Ax