三、用正交变换化二次型为标准型 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： 1将二次型r=∑∑a,xx,写成矩阵形式/=xA 2、由A-入E=0求出4的全部特征值： 3、由(A-2E)x=0,求出4的特征向量： 对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交 只须单位化： 对于k重特征值入，所对应的k个线性无关的特征向量， 用Schimidt标准正交化方法把它们化为k个两两正交的单 位向量
三 、用正交变换化二次型为标准型 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤： = = = = n i n j T f ai jxi xj f x Ax 1 1 1.将二次型 ：写成矩阵形式 2 0, 、由 求出 的全部特征值： A E A − = 3 0 、由（ ） ，求出 的特征向量； A E x A − = 对于求出的不同的特征值所对应的特征向量已正交， 只须单位化； 对于 重特征值 所对应的 个线性无关的特征向量， 用 标准正交化方法把它们化为 个两两正交的单 位向量。 k k λ k Schimidt k
4.把求出的个两两正交的单位向量，拼成正交矩 阵P,作正交变换x=Py 5用x=Py,把f化成标准型 f=y+见2y3++2ny 其中入，.…，n使f的矩阵4的n个特征值
2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y ++ y 1 2, , , 其中 使 的矩阵 的 个特征值。 λ λ λ f n n A 4．把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩 阵P,作正交变换x=Py; 5.用x=Py，把f 化成标准型
例2.求一个正交变换x=Py,把二次型 f=2xx2 +2xx;-2xx-2x2x+2x2x+2x3x 化为标准形 解1)二次型的矩阵为 三
例2. 求一个正交变换x=Py，把二次型 解 1）二次型的矩阵为 − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 . f x x x x x x x x x x x x = + − − + + 化为标准形
2)由A-2E=0,求4的特征值 -入 A-E=
2)由A−E = 0,求A的特征值： − − − − − − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E − − − − − = − − − − λ λ λ λ λ
-λ-1 -2 /1 =(1-2)20-元-1 -2 0-2-2-1 =(1-2)2(2+2入-3) =(1-2)2(2+3)(入-1)=0
0 0 0 1 0 2 1 2 0 1 2 2 1 1 1 1 (1 ) − + − − − − − − − = − 0 2 1 0 1 2 1 1 1 (1 ) 2 − − − = − − − − (1 ) ( 3)( 1) 0 (1 ) ( 2 3) 2 2 2 = − + − = = − + −