拉格朗日中值定理也称为微分中值定理或有限增值定理 2. 拉格朗日中值公式的不同形式 (1)fb)-f(a)=(b-a)f'(5) （5在a,b之间) 拉格朗日中值公式 (2)f5⑤)=fb)-f@ （5在a,b之间) b-a (3)f(x+△x)-fx)=f'(5)△x (E介于x与x+△x之间) (4)△y=f(x+△x)-f(x)=f'(x+孤x)△x,(0<0<1) 增量△y的精确表达式 有限增量公式
2. 拉格朗日中值公式的不同形式 （ 2 ） () () ( ) f b fa f b a ξ − ′ = − （ ξ在 之间 a b, ） （1） fb fa b a f () () () − =− ( ) ′ ξ （ ξ在 之间 a b, ） （ 4 ） Δy fx x fx f x x x = +Δ − = + Δ Δ < < ( ) ( ) ( ) , (0 1) ′ θ θ 有限增量公式 增量 Δy的精确表达式. （3） f ( ) () () x x + Δ− = Δ f x f ′ ξ x （ ξ介于 与 之间 xx x + Δ ） 拉格朗日中值公式 拉格朗日中值定理也称为微分中值定理或有限增值定理
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 比较 如果函数fx)满足： 如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b1上连续： (1)在闭区间[a,b1上连续； (2)在开区间(a,b)内可导： (2)在开区间(a,b)内可导， (3) f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点5，使得. f@=f⑤ f'(5)=0 M)=I(b)-I(a) b-a
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 比 较 如果函数 f ( ) x 满足： （1）在闭区间[,] a b 上连续； （2）在开区间(,) a b 内可导； （3） f () () a = f b ， 那么在(,) a b 内至少有一点 ξ ，使得. f ′() 0 ξ = 如果函数 f ( ) x 满足： （1）在闭区间[,] a b 上连续； （2）在开区间(,) a b 内可导， () () ( ) f b fa f b a ξ − ′ = − fa fb () () =
三、拉格朗日中值定理 3.拉格朗日中值定理的几何意义 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上若除端点外， 每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必 有一条切线平行于两个端点的连线
3. 拉格朗日中值定理的几何意义 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上若除端点外， 每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必 有一条切线平行于两个端点的连线 三 、拉格朗日中值定理
三、拉格朗日中值定理 推论：如果f(x)在区间1的导数为零，那么x在区间/上为常数 分析 在区间上任取两点x<x f'(x)=0 拉格朗日中值定理 f(x2)-f(x)=f'(5x2-x) f'(5)=0 f(x,)=f(x) 见 因为x,x是1上任意两点，fx)在区间1上是一个常数
分析 在区间上任取两点 1 2 x x < ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f ′ ξ x − x 拉格朗日中值定理 f x ′() 0 = f ′() 0 ξ = 2 1 fx fx () () 0 − = 2 1 f () () x fx = 因为 1 2 x x, 是I 上任意两点， f ( ) x 在区间I 上是一个常数 4. 推论：如果 f ( ) x 在区间I 的导数为零，那么 f ( ) x 在区间I 上为常数 三、拉格朗日中值定理
三、拉格朗日中值定理 注记5应用拉格朗日中值定理的推论证明在区间1上fx)=C的步骤 第一步：写出fw)的表达式 第二步：证明在区间1上f(x)=0 第三步：证明在区间1上有一点x,使得fx)=C
注记 5 应用拉格朗日中值定理的推论证明在区间 I 上 f ( ) x C= 的步骤 第一步：写出 f ( ) x 的表达式 三 、拉格朗日中值定理 第二步：证明在区间 I 上 f x ′() 0 ≡ 第三步：证明在区间 I 上有一点 0 x 使得 0 f ( ) x C=