公第二节偏导数公公 偏导数概 念及计算 偏导数与 主要 高阶偏 连续性 内容 导数 偏导数 几何意义
偏导数概 念及计算 偏导数与 连续性 高阶偏 导数 偏导数 几何意义 主 要 内 容 第二节 偏导数
偏导数的概念及计算 定义 设函数：=fx,y)在点(x,)的某邻域内 f (xo2 o)=lim f(x+△x,yo)-f(xo,) △x-→0 △x 有定义，当y固定在，而x在x,处有增量 类似地：二元函数：=fx,)在点（化，） △x时，相应函数有增量fx,+△x,)-fx) 如果极限 对y的偏导数可以定义为 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo-Yo) f(x,+△y)-f(x,) △x>0 △x f(Xo>o)=lim △y 存在，那么这个极限就叫做二元函数：=fx,y) 该偏导数也可记为 在点(x,)处对x的偏导数.记为 fx),w专
定义 设函数z f x y ( , )在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内 有定义，当 y 固定在 0 y ， 而x在 0 x 处有增量 x时，相应函数有增量 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) 如果极限 x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在那么这个极限就叫做二元函数z f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处对x的偏导数. 记为 0 0 ( , ) x f x y ， 0 0 ( , ) x x y z ， 0 0 ( , ) x y z x 0 0 ( , ) x y f x 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x ( , ) lim x f x x y f x y f x y x 类似地：二元函数z f x y ( , )在点 0 0 ( , ) x y 对 y 的偏导数可以定义为 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y y 该偏导数也可记为 0 0 ( , ) y f x y ， 0 0 ( , ) y x y z ， 0 0 ( , ) x y z y 0 0 ( , ) x y f y 一、偏导数的概念及计算
一、偏导数的概念及计算公 二元函数：=fx,y)的偏导数与一元函数y=fx)的导数的区别与联系 af d df 1)记号不同 ax’ ar' k’ f(x.y) ,(x) 区别 v, f(y) a 专用于偏导数 ax'dy 名是微商可 (2)算符的意义不同 算符是整体符号不能 以看做是分 看做是分子分母的商。 子分母的商 一元函数y=f(x) 二元函数z=f(x,y) 关联 △y=f(x+△x)-f(x) △2=f(x+△x,%)-f(x,y) 少=lim Ay dkr0△x (o)=lim A Ar→0△x f,)就是一元函数z=f(x,yo)对x的导数，求时，只要把暂时y看作常量而对x求导数 ax 求斗时，只要把x暂时看作常量而对y求导数
一、偏导数的概念及计算 二元函数z f x y ( , )的偏导数与一元函数 y f x ( )的导数的区别与联系 区别 1）记号不同 （2）算符的意义不同 关联 dy dx df dx y f y( ) x z x f x z ( , ) x f x y z y f y y z ( , ) y f x y dy dx 是微商可 以看做是分 子分母的商 , x y 专用于偏导数 算符是整体符号不能 看做是分子分母的商. 一元函数 y f x ( ) 0 0 y f x x f x ( ) ( ) 二元函数 z f x y ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x z f x x y f x y 0 lim x dy y dx x 0 0 0 ( , ) lim x x x z f x y x 0 0 ( , ) x f x y 就是一元函数 0 z f x y ( , ) 对 x 的导数，求 x f 时 只要把暂时 y 看作常量而对 x 求导数 求 y f 时 只要把x暂时看作常量而对 y 求导数
偏导数的概念及计算 例1求：=x2+3y+y2在点L,2)处 例2设：=x(x>0,x≠L,y∈R)证明 x dz 1 0z 的偏导数 y ax Inx dy -22 解(1)把y看做常数得 证明（1)把y看做常数得 2=2x+3y a=x-1 把x看做常数得 0z=3x+2y (a=alnx分 o -x"Inx ay (2)将1,2)代入得 a)将会高代入得 器-21+3-2=8 x.正+1.=2x=2 y dx Inx dy a1,2)=31+2-2=7 即结论成立
一、偏导数的概念及计算 例 1 求 2 2 z x xy y 3 在点(1,2)处 的偏导数 解 （1）把 y 看做常数得 x y x z 2 3 把x 看做常数得x y y z 3 2 （2）将(1,2)代入得 (1,2) 2 1 3 2 8 z x (1,2) 3 1 2 2 7 z y 1 2 ln x z z z y x x y 证明 （1）把 y 看做常数得 z y 1 yx x 1 x x ln x x a a x ln z y x x y （2）将 , z z x y 代入得 1 2 2 ln x z z y x z y x x y 即结论成立 例 2 设 ( 0, 1, ) y z x x x y R 证明
偏导数的概念及计算 求偏导数的方法…定义法 例3设fx,y)= +yx川≠0,0) 求f'0,0),0,0) (x,y)=(0,0) (①)△2=fx+△x,%)-f(x,%) △2=f(,+Ay)-f(xo) 解：(1)显然△，z=f0+△x,0)-f(0,0)=0 (2)4生=+A年)-f △2=f(0,0+△y)-f(0,0)=0 △x △x 所以 △2=fo,6+Ay)-fo,6） △=04,2=0 △y Av △x △y ⑧吗=+园 故 △x x2=0 f(0,0)=A 典-到 ,2 f0,0)=A =0
一、偏导数的概念及计算 求偏导数的方法-------定义法 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) x （） z f x x y f x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y z f x y y f x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (2) x z f x x y f x y x x 0 0 0 0 y z f x y y f x y ( , ) ( , ) y y 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (3) lim lim x x x z f x x y f x y x x 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y y y 例 3 设 2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y 求 (0, 0), (0, 0) x y f f (0 ,0) (0,0) 0 x 解：(1)显然 z f x f (0,0 ) (0,0) 0 y z f y f 所以 0 0 x y z z x y 故 0 (0, 0) lim 0 x x x z f x 0 (0, 0) lim 0 y y y z f y