三、拉格朗日中值定理 例1证明arcsinx+arccosx= (-lsx5l 证明：设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈[-l,1] 当e,子( 1 由拉格朗日中值定理的推论可得x∈(-1，I)时，f(x)=C 又0e(-1,1),且 (0)=arcsin0+arccos0= 2 所以当x∈(-l,1)时，arcsinx+arceosx= 2 又当=时，-，所以csmx+aos-号-1≤x)
例 1 证明 arcsin arccos ( 1 1) 2 xx x π + = −≤ ≤ 证明：设 f x x xx ( ) arcsin arccos , [ 1,1] = + ∈− 当 2 2 1 1 ( 1,1) ( ) ( )=0 1 1 x fx x x ∈− = +− ′ − − 时， 由拉格朗日中值定理的推论可得 x ∈( 1,1) − 时， f ( ) x C≡ 又当 x = ±1时， ( ) 2 f x π= ，所以 arcsin arccos ( 1 1) 2 xx x π + = −≤ ≤ 三、拉格朗日中值定理 0 ( 1,1), (0) arcsin 0 arccos 0= 2 f π 又 且 ∈− = + 所以当 x ∈ −( 1,1)时，arcsin arccos 2 x x π + =
三、拉格朗日中值定理 例2 证明：对与任意的实数，，都有arctan,-arctan,-x成立 证明：设f)=arctan,当x=x,时，不等式显然成立 当x≠x时，不妨假设x<x,显然fx)在[x,x,]上连续，在(x,x)可导 由拉格朗日中值定理可得 f(x2)-fx)=f'(5x2-x)(x<5<x2) 又 f到 1 所以 f51+1 (<5<x2) 因此 arctanx2 -arctanx=f(x2)-f(x)=f(2
例 2 证明：对与任意的实数 1 2 x x, ，都有 2 1 21 arctan arctan x x xx − ≤ − 成立 证明：设 f ( ) arctan x x = ， 当 1 2 x = x 时，不等式显然成立 当 1 2 x x ≠ 时，不妨假设 1 2 x x < . 显然 f ( ) x 在 1 2 [, ] x x 上连续，在 1 2 (, ) x x 可导 f ( ) ( ) ( )( ) x2 1 21 1 2 − = − << f x f ′ ξ ξ xx x x ( ) 又 2 1 ( ) 1 f x x ′ = + 因此 2 1 2 1 21 21 arctan arctan ( ) ( ) ( ) x − = − = −≤ − x fx fx f x x x x ′ ξ 三、拉格朗日中值定理 所以 2 1 2 1 ( )= 1 ( ) 1 f ξ ξ x x ξ ′ ≤ << + 由拉格朗日中值定理可得
三、拉格朗日中值定理 注记7：利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤 第一步：把不等式的一边改写为函数值差的形式即fb)-f@)(b>a) 第二步：确定函数fx)的表达式及端点a,b使得函数fx)在a,b1上连续， 在(a,b内可导 第三步：写出拉格朗日中值公式的某种表达式 第四步：求导数fx),并由此求出) 第五步：将'()的式子代入拉格朗日中值定理的表达式中，利用：的取值 范围将等式放大或缩小以证出不等式
注记 7：利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤 第一步：把不等式的一边改写为函数值差的形式即 f () () b fa b a − ( > ) 第二步：确定函数 f ( ) x 的表达式及端点 a b, 使得函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续， 第三步：写出拉格朗日中值公式的某种表达式 第四步：求导数 f ′( ) x ，并由此求出 f ′( ) ξ 第五步：将 f ′( ) ξ 的式子代入拉格朗日中值定理的表达式中，利用 ξ 的取值 范围将等式放大或缩小以证出不等式 三 、拉格朗日中值定理 在(,) a b 内可导
三、拉格朗日中值定理 例3证明： 当x>0时，x<n+xx 分析：(1)改写不等式的一边为函数值的差ln(1+x)=ln(1+x)-ln(1+0)(x>0) (2)确定函数f(t)=ln(1+t)及端点a=0,b=x使得f(t)=ln(1+t)在[0，x)上连续 在(0，x)内可导 (3)写出拉格朗日中值公式表达式f)-f0)=∫'(5x-0),(0<5<x) (④求出/3.由于/0，所以8=4话 (5)将)代入拉格朗日中值公式中得到等式+)1中E 利用0<5<x证明出不等式
例 3 证明： 当x > 0时， x x x x < + < + ln(1 ) 1 分析：（1）改写不等式的一边为函数值的差 三、拉格朗日中值定理 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 0) ( 0) += +− + > xx x （2）确定函数 f ( ) ln(1 ) t t = + 及端点a bx = 0, = 使得 f ( ) ln(1 ) t t = + 在[0, ] x 上连续 在(0, ) x 内可导 （3）写出拉格朗日中值公式表达式 f ( ) (0) ( )( 0), (0 ) xf f x x − = − << ′ ξ ξ （4）求出 f ′( ) ξ .由于 1 () , 1 f t t ′ = + 所以 1 ( ) 1 f ξ ξ ′ = + （5）将 f ′( ) ξ 代入拉格朗日中值公式中得到等式ln(1 ) , 1 x x ξ + = + 利用 0 < ξ < x证明出不等式
三、拉格朗日中值定理 例3证明： 当x>0时，in+xk 1+x 证明：设f(t)=ln(1+t).显然fu)在[0，x连续，在(0，x)内可导.由拉格朗日中值定理可得 f(x)-f(0)=f'(5)(x-0),(0<5<x) 又0-00所以8- 故 In(l+x)=-x 1+5 0<5<知所以<<1因此中x中专 1+x1+5 即 <In(l+x)<x. 1+x
例 3 证明： 当x > 0时， x x x x < + < + ln(1 ) 1 证明：设 f ( ) ln(1 ). t t = + 显然 ft x x ( ) [0, ] 0, ) . 在 连续，在( 内可导 由拉格朗日中值定理可得 又 1 (0) 0, ( ) , 1 f ft t = = ′ + 所以 1 ( ) 1 f ξ ξ ′ = + ， f ( ) (0) ( )( 0), (0 ) x − = − << f f ′ ξ x x ξ 又 ， 0 < < ξ x 所以 1 1 1, 1 1 x ξ < < + + 因此 , 1 1 x x x x ξ < < + + 即 ln(1 ) . 1 x x x x < + < + 三、拉格朗日中值定理 故 ln(1 ) , 1 x x ξ + = +