第三节二元函数的全微分 全微分的 定义 可微与 主要 可微的 连续关系 内容 条件 全微分 应用
全微分的 定义 可微与 连续关系 可微的 条件 全微分 应用 主 要 内 容 第三节 二元函数的全微分
全微分的定义 类比推广 联想：如果函数y=fx)在点x的增量 定义：如果函数：=fx,y)在点(x,)的全增量 △y=f(x+△x)-f(x) △=fx+△x,y+Ay)-fx,y) 可表示为 可表示为 △y=A△x+o(△x) △=A△x+B△y+O(P) （1)A不依赖于△x而仅与x有关， (1)AB不依赖于△x,△y而仅与x,y有关 (2)o(△x)是比△x高阶的无穷小量 2) o(p)是比p=√△+（△高阶无穷小 则称函数y=)在点x可微 量，则称函数：=fx,)在点(x,)可微 称AAx为函数y=fm在点x的微分 称A△r+BAy为z=fx,y)在点(x,)的微分 记作y即 dy=A△x 记作dz即 d止=A△x+B△
一、 全微分的定义 联想： 如果函数 y f x ( )在点x的增量 y f x x f x ( ) ( ) y A x o x ( ) 可表示为 （1） A不依赖于x 而仅与 x 有关 （2） o x ( ) 是比x 高阶的无穷小量 则称函数 y f x ( )在点x可微 称A x 为函数y f x ( )在点x的微分 记作dy 即 dy A x 定义： 如果函数z f x y ( , )在点( , ) x y 的全增量 z f x x y y f x y ( , ) ( , ) z A x B y o( ) 可表示为 （1） A B, 不依赖于 x y , 而仅与x y, 有关 （2） o( ) 是比 2 2 ( ) ( ) x y 高阶无穷小 量，则称函数z f x y ( , )在点( , ) x y 可微 称 A x B y 为z f x y ( , )在点( , ) x y 的微分 记作dz 即 dz A x B y 类比推广
可微与连续的关系 推广 一元函数可微的定义 二元函数可微的定义 元函数可微 类比猜想1 二元函数可微 与连续的关系 与连续的关系 函数y=f(x)在点x处可微 函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微 则函数在点x处连续 则函数在点(x,y)处连续 函数y=f(x)在点x处连续则 函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续则 函数在点x处不一定可微 函数在点(x,y)处不一定可微
推广 一元函数可微的定义 二元函数可微的定义 一元函数可微 与连续的关系 二元函数可微 与连续的关系 类比猜想1 ( , ) ( , ) ( , ) z f x y x y x y 函数 在点 处可微 则函数在点 处连续 y f x x ( ) x 函数 在点 处可微 则函数在点 处连续 y f x x ( ) x 函数 在点 处连续则 函数在点 处不一定可微 ( , ) ( , ) ( , ) z f x y x y x y 函数 在点 处连续则 函数在点 处不一定可微 二、 可微与连续的关系
探究猜想1的正确性会之△心 函数：=x,)在点x,)处可微 函数：=fx,)在点x,)处连续 微分 连铁 定义 定义 △=A△x+B△y+o(p) lim。f(x+△x,y+△y)=f(x,y (Ax,△y)→(0,0) 当（△x,△）→0.0)时 △x→0，△y→0，p→0 lim.△z=limA△x+limB△y+limo(p)=O (△x,△y)(0,0) △x0 △y-0 p→0 极限的定义及运算法则 高阶无穷小的定义
z A x B y o( ) ? 微分 定义 当( , 0 0) x y） （ ， 时 x 0， y 0， 0 ( , ) (0,0) 0 0 0 lim lim lim lim ( ) 0 x y x y z A x B y o ( , ) (0,0) lim ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y 探究猜想 1 的正确性 函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处可微 函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处连续 极限的定义及运算法则 高阶无穷小的定义 连续 定义
可微与连续的关系 定理1若函数：=fx,)在点(x,y)处可微，则 函数：=fx,)在点(x,)处连续 注记1如果函数：=fx,y)在点(x,)处不连续，则函数在点(x,y) 一定不可微， 注记2如果函数=fx,)在点(x,)处连续，则函数在点(x,) 不一定可微 连续是二元函数可微的 必要条件而非充分条件 思考题：举例说明
定理 1 若函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处可微，则 函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处连续 注记 1 如果函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处不连续，则函数在点( , ) x y 一定不可微. 注记 2 如果函数z f x y ( , )在点( , ) x y 处连续，则函数在点( , ) x y 不一定可微. 连续是二元函数可微的 必要条件而非充分条件 思考题：举例说明 二、 可微与连续的关系