南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 微分方程 §6.5 二阶常系数线性微分方程

§6.5二阶常系数线性微分方程 主要 内容 二阶常系数 二阶常系 线性微分 数线性微 方程的定义 分方程的解

§6.5 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数 线性微分 方程的定义 主 要 内 容 二阶常系 数线性微 分方程的解

一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义 定义：形如y”+py+9少=0的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程 其中P,9为常数 未知函数的 未知函数的 未知函数的 二阶导数且 一阶导数系 一次且系数 系数为1 数为常数 为常数 +py+qy =0 课堂训练1：下列是二阶齐次线性方程的是（) (1) d'y dy (2) xd'y dy +y=0 (3) d'y dx2 +y=1 dx dx?dx +y=0 (4) dy dy d2-x +y=0 (5) dr y-3+4=0】 (6)y"+2y=0 d

定义：形如 y py qy      0 的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p q, 为常数 y py qy      0 未知函数的 二阶导数且 系数为1 一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义 课堂训练 1：下列是二阶齐次线性方程的是（ ） (1) 1 2 2   y  dx dy dx d y (2) 0 2 2   y  dx dy dx d y x (3) 0 2 2  xy  dx d y (4) 0 2 2   y  dx dy x dx d y (5) 3 4 0 2 2   y  dx dy dx d y (6) y y   2 0 未知函数的 一阶导数系 数为常数 未知函数的 一次且系数 为常数

二阶常系数齐次线性微分方程的解 若y=(x),y=y(x),是 y=C1(x)+C12(x)是否是 y”+y+y=0的解， y”+py+y=0的解？ "+py+9%=0 (Cy+C2y2)+p(Cy+C2y) y2+py+9y2=0 +q(Cy+C2y2)=0 C(”+py+y) (C"+C2)+p(Cy+C22) +C2（y2+py2+9y2)=0 +9(Cy+C2y)=0

若 1 2 y y x y y x   ( ), ( ),是 y py qy      0 的解， 1 1 1 2 y C y x C y x   ( ) ( ) 是否是 ？ y py qy      0 的解？ 1 1 1 y py qy      0 2 2 2 y py qy      0 C y py qy 1 1 1 1           C y py qy 2 2 2 2     0 C y C y p C y C y 1 1 2 2 1 1 2 2              q C y C y  1 1 2 2  0 C y C y p C y C y 1 1 2 2 1 1 2 2            q C y C y  1 1 2 2  0 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 定理1：如果y=(x),y=2(x),是y”+py'+9必y=0的解，那么 (1)y=Cy(x)+C22(x)是y”+py+q=0的解 (2)若y(x)/y,(x)丰常数，则对任意的常数C1,C2, y=C(x)+C22(x) 是y”+py+y=0的通解 注记1：要想求出y”+py+少=0的通解，只需要找到 它的两个不同的解且比值为非常数即可

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 定理 1：如果 1 2 y y x y y x   ( ), ( ),是 y py qy      0 的解，那么 （1） 1 1 2 2 y C y x C y x   ( ) ( )是 y py qy      0 的解 （2）若 1 2 y x y x ( ) ( )  常数，则对任意的常数 1 2 C C, , 1 1 2 2 y C y x C y x   ( ) ( ) 是 y py qy      0 的通解 注记 1：要想求出 y py qy      0 的通解，只需要找到 它的两个不同的解且比值为非常数即可

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 若y=y(x)是 函数y=e一定是 y”+py+y=0的解 y”+py+y=0的解 由于r2+pr+q=0 一定有解 "与片及y应有 特征方程 较好的等量关系 其根称为 r2+pr+9=( 0 特征根 y=e是y"+py+9Dy=0 的解充要条件 联想函数y=e具有 猜想y=e是 y"=r'=r2y y"+py+qDy=0的解

若 y y x  ( )是 y py qy      0 的解 1 1 y y y   与 及 应有 较好的等量关系 猜想 rx y e  是 y py qy      0 的解 联想函数 rx y e  具有 2 y ry r y     rx y e  是 y py qy      0 的解充要条件 2 r pr q    0 函数 rx y e  一定是 y py qy      0 的解 由于 2 r pr q    0 一定有解 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 特征方程 其根称为 特征根