第三章多维随机变量及其分布 第11页 33.3 连续场合的卷积公式 定理33.1 设连续随机变量X与Y独立， 则Z=X+Y的密度函数为 P,(a)=∫px(x)p,(e-xi =∫px(a-y)p(y 4 April 2025
第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第11页 3.3.3 连续场合的卷积公式 定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为 ( ) ( ) ( )d = ( ) ( )d Z X Y X Y p z p x p z x x p z y p y y − − = − −
p2(=)=[Px(x)p,(=-xXdx 卷积公式的应用 =∫Px(e-y)p,(yy 例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正 态分布，求Z=X+Y的概率密度. 解 由于1 x)1。x =e2,-∞<X<+∞， V2π 1y2 Py(y)= =e2,-∞<y<+∞， V2 r+∞1_x2_(2-x)☑ 由公式得Pz(2)=
由公式得 解 由于 𝑝𝑋(𝑥) = 1 2π e − 𝑥 2 2 , −∞ < 𝑥 < +∞, 𝑝𝑌(𝑦) = 1 2π e − 𝑦 2 2 , −∞ < 𝑦 < +∞, 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 卷积公式的应用 ( ) ( ) ( )d = ( ) ( )d Z X Y X Y p z p x p z x x p z y p y y − − = − − 𝑝𝑍(𝑧) = න −∞ +∞ 1 2π e − 𝑥 2 2 e − (𝑧−𝑥) 2 2 d 𝑥