例6、设(X,Y)的分布函数 F(x,)、1,丌 丌22 +arctan(+arctan )(<x<o,00<y< oo) 试求:(1)(X,Y)的分布密度(2)P{0≤X≤3} 解 12 ()f(x,y)=z2(x2+9)(y+16) (2)P{0≤X≤3}=P{0≤X≤3,Y<o}= 「n」。f(x,n)d=J, 1 2dxdy 0J∞x2(x2+9)(y2+16)4
例6、设（X，Y）的分布函数 (− x ,− y ) 试求：(1)(X，Y)的分布密度(2) P{0≤ X≤3} 解、 2 ( ) ( , ) ( )( ) f x y x y = + + 2 2 12 1 9 16 3 3 2 0 0 ( ) {0 3} {0 3, } ( , ) ( )( ) P X P X Y f x y dxdy x y − − = = = = + + 2 2 2 12dxdy 1 9 16 4
四、两个重要分布 1均匀分布 (1)设平面区域D的面积为A,若随机向量 (,F的概率密度为 P(x,y)=A (x,y)∈D 0 其它 则称随机向量(EF在区域D上服从均匀分布。 (2)若区域D内任一部分区域1,其面积为A1,则有 P((,Y)ED)dayna
四、两个重要分布 • 1 均匀分布 （1） 设平面区域D 的面积为 A ，若随机向量 （X，Y）的概率密度为 则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。 （2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有
例题设区域G={x,y)10<x≤1,0<y≤x 二维随机向量XY在G上服从均匀分布, 试求Y)的分布函数 解:f(x,y)= ∫2xy)eG 10其他 (1)x≤0或y≤0时F(Y)=0 (2)0≤x≤1,0≤y<X,F(X,y)=y(2X-y) (3)0<X<1y≥x时,F(X,Y)=x (4)X≥10≤y<1F(xX,y)=(2-y)y (5)x≥1y≥1F(xy)=1
G={( (X,Y) G , (X,Y) 例题 设区域 x,y)|0<x 1,0<y x} 二维随机向量 在 上服从均匀分布 试求 的分布函数 2 ( , ) : ( , ) 0 x y G f x y = 解 其他 (1)x 0 y 0 ,F(X,Y)=0 或 时 (2)0 1 , 0 y , ( , ) (2 ) = − x x F x y y x y 2 (3)0 1, , ( , ) = x y x F X Y x 时 (4) 1,0 1, ( , ) (2 ) x y F x y y y = − (5) 1, 1 F(x,y)=1 x y
若二维随机变量(X,Y)的概率密度为 一1 f(,y)= exp 2丌G,O,V1 p20(2(1-p )2 -2o( s-A)(y-2)(y-2 00 其中1,2,O1,O2P都是常数,且1>0,O2>0 -1<P<1则称(X,Y)服从参数为1,2,O1,2,P 的二维正态分布,记为 (X,)~N(1,p2,a2,a2,p)
的二维正态分布，记为 若二维随机变量 的概率密度为 其中 都是常数,且 则称 服从参数为
小结: 一、二维随机向量(X,Y)的联合分布函数: F(xy=PXs,9F(x,y)=∑∑P X1≤xy≤y F(x,y)= plu, dudy 二、已知PP{X=x,Y=y或P(x,y),确定常数, 分布函数,求概率 三、F(x,y),p,p(xy)的性质 四、两个重要分布
• 一、 二维随机向量（X，Y）的联合分布函数： F（x, y）=P{X≤x, Y≤y} − − = y x F(x, y) p(u,v)dudv • 四 、 两个重要分布。 • 二、已知 pij =P { X = xi ,Y = yj 或 p（x，y），确定常数， 分布函数，求概率 = x x y y i j i j F(x, y) p • 三、 F（x，y），pij , p(x,y) 的性质 小 结：