2006春季球 戋性代数第8章二次型 8—1 第8章二次型 81二次型与二次型的矩阵 n个变量的二次齐次多项式 152 ,xn)=∑∑anx 称为n元二次型. 二次型有3种表达形式: (1)完全展开式 ∫(x1,x2,…,xn) =1x1+a12x12+…+a1nC1Cn +a21x2x1ta22x2t.+a2nx,xn . +auInx1tan2xnx2 +.ann n. (2)和式 f(x1,x2,…,xn)=∑∑a ,q、 (3)矩阵表达式 令x=(x1
2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—1 第8章 二次型 8.1 二次型与二次型的矩阵 n个变量的二次齐次多项式 ∑∑= = = n i n j x x xn aij xi x j f 1 1 1 2 ( , ,L, ) 称为n元二次型． 二次型有３种表达形式： （１） 完全展开式 ( , , , ) x1 x2 xn f L = a x a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 11 1 + + L+ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 +L+ +LL ． 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 + Lann xn （２） 和式 ∑∑= = = n i n j x x xn aij xi x j f 1 1 1 2 ( , ,L, ) ， ． ij ji a = a （３） 矩阵表达式 令 ， T x x x xn ( , , , ) = 1 2 L ( ) ij A = a ， ij ji a = a
2006春季球 戋性代数第8章二次型 f(x1,x2,…,xn) 12 1 2n x 15~2,,n 2 X AX 二次型的矩阵表达式∫(x1,x2,…,xn)=XAX中 的矩阵A叫二次型的矩阵 它是一个对称矩阵.其中=an,即满足A=A 二次型矩阵A的秩称为二次型的秩 例1二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为 82矩阵的合同 设A,B是两个n阶矩阵,若存在可逆方阵P,使 得PAP=B,则称B与A合同 合同有以下三个性质: (1)自反性:任意方阵A和自身合同; (2)对称性:若方阵B和A合同,则A和B也合同; (3)传递性:若方阵B和A合同,方阵C和B合同, 则C和A合同
2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—2 ( , , , ) x1 x2 xn f L ＝( , , , ) x1 x2 L xn ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n nn n n a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ xn x x M 2 1 ＝ X AX T ． 二次型的矩阵表达式 f (x1 , x2 ,L, xn )＝ X AX T 中 的矩阵 A叫二次型的矩阵． 它是一个对称矩阵．其中 ij ji a = a ，即满足 A A． T = 二次型矩阵 A的秩称为二次型的秩． 例 1 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 ． 8.2 矩阵的合同 设 A,B是两个n阶矩阵，若存在可逆方阵 ，使 得 ，则称 与 合同． P P AP B T = B A 合同有以下三个性质： （１） 自反性：任意方阵 A和自身合同； （２） 对称性：若方阵B和 A合同，则 A和B也合同； （３） 传递性：若方阵B和 A合同，方阵C 和 合同， 则 B C 和 A合同．
2006春季球 戋性代数第8章二次型 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵A和B来说, 如果存在可逆矩阵P和可逆矩阵Q,使得B=PAQ, 则A和B等价.而矩阵的相似是对方阵说的,两个同 阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵P,使得 B=P-AP,则A和B相似.矩阵的合同也是对方 阵说的,两个同阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵 P,使得B=P1AP,则A和B合同.由此可见,相 似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价.等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩.显然,等价的矩阵不 定相似,等价的矩阵也不一定合同 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似.一个是可逆矩阵的逆,另一个是可逆矩阵的转 置.这是两个不同的概念,千万不要混淆.相似的矩 阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似.只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时,则有 B=P AP= P AP, 这时,A和B既相似又合同.实对称矩阵就有这个性 质,对任意实对称矩阵,都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同
2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—3 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 和 来说， 如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵Q，使得 A B P B = PAQ， 则 和 等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同 阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，则 和 相似．矩阵的合同也是对方 阵说的，两个同阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 A B A B P B P AP −1 = A B A B P B P AP T = ，则 和 合同．由此可见，相 似的矩阵一定等价，合同的矩阵也一定等价．等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩，因此，相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩．显然，等价的矩阵不 一定相似，等价的矩阵也不一定合同． A B 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转 置．这是两个不同的概念，千万不要混淆．相似的矩 阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似．只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时，则有 B P AP −1 = P AP T = ， 这时， 和 既相似又合同．实对称矩阵就有这个性 质，对任意实对称矩阵，都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同． A B
06春季 戋性代数第8章二次型 8-4 400 例2已知A=040,B=04 000 C=220, 试判断A,B,C中哪些矩阵相似,哪些矩阵合同? 83二次型的标准形 形如 1yi+d2y2+…+d 的二次型称为二次型的标准形. 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项, 没有变量的交叉乘积项 通常用两种方法化二次型为标准形,分别是正交 变换法,和配方法 正交变换法只能用于实二次型,不能用于复二次 型.由于常见的题目都是实二次型,所以它是一种主 要的方法.配方法可以用在实二次型,也可以用在复 二次型.配方法实际上就是初等代数里的配平方,有 时候用起来很方便,对于简单的题不失为一种好方 法
2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—4 例2 已知 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 4 0 4 0 4 0 0 A , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 4 1 4 1 0 B , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 2 2 0 2 2 0 C ， 试判断 A,B,C 中哪些矩阵相似, 哪些矩阵合同? 8.3 二次型的标准形 形如 2 2 2 2 2 1 1 n n d y + d y +L+ d y 的二次型称为二次型的标准形． 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项， 没有变量的交叉乘积项． 通常用两种方法化二次型为标准形，分别是正交 变换法，和配方法． 正交变换法只能用于实二次型，不能用于复二次 型．由于常见的题目都是实二次型，所以它是一种主 要的方法．配方法可以用在实二次型，也可以用在复 二次型．配方法实际上就是初等代数里的配平方，有 时候用起来很方便，对于简单的题不失为一种好方 法．
2006春季球 戋性代数第8章二次型 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤: (1)写出二次型的矩阵A; (2)求矩阵A的特征值,得A1,A2,…,几n; (3)求相应的特征向量; (4)将特征向量作施密特正交化,得到正交的特 征向量; (5)将正交的特征向量单位化 (6)将这些向量按列排成矩阵,得到正交矩阵Q, 这时有QAQ=QAQ=D,其中D是对角矩 阵,它由A的特征值构成, D=lig(λ1,A2,…,n),写的时候要注意与特 征向量写的顺序一致 (7)写出可逆线性替换X=QY,则有 ∫=孔1y2+气2y2+…+ny2 例3已知实二次型 f 152,3 =a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换x=Py化成标准型∫=6y2, 则a
2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—5 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （１） 写出二次型的矩阵 A； （２） 求矩阵 A的特征值，得λ λ λ n , , , 1 2 L ； （３） 求相应的特征向量； （４） 将特征向量作施密特正交化，得到正交的特 征向量； （５） 将正交的特征向量单位化； （６） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵Q， 这时有Q AQ Q AQ D T = = −1 ，其中D是对角矩 阵，它由 A的特征值构成， ( , , , ) D = diag λ1 λ 2 L λ n ，写的时候要注意与特 征向量写的顺序一致； （７） 写出可逆线性替换 X = QY ，则有 f = 2 2 2 2 2 1 1 n n λ y + λ y +L+ λ y ． 例3 已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 ( ) 4 4 4 ( , , ) a x x x x x x x x x f x x x = + + + + + 经正交变换 x = Py化成标准型 ， 2 6 1 f = y 则a = ．