2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 3.1矩阵的初等变换 矩阵的初等变换分矩阵的初等行变换和矩阵的 初等列变换两类,它们又各有3种变换 矩阵的初等行(列)变换: (1)交换第i行(列)和第j行(列); (2)用一个非零常数乘矩阵某一行(列)的每个 元素; (3)把矩阵某一行(列)的元素的k倍加到另一行 (列) 对矩阵施行初等变换时,由于矩阵中的元素已经 改变,变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等,所 以在表达上不能用等号,而要用箭号"→" 012 例1求矩阵A=11-1的逆矩阵 240 3.2初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵.概括起来,初等矩阵有3类,分别是 (1)交换第i行和第j行(交换第i列和第j列)
2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 1 第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 ３．１ 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换分矩阵的初等行变换和矩阵的 初等列变换两类，它们又各有３种变换． 矩阵的初等行（列）变换： （１） 交换第i行（列）和第 j 行（列）； （２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个 元素； （３） 把矩阵某一行（列）的元素的k倍加到另一行 （列）． 对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经 改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所 以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂． 例1 求矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 4 0 1 1 1 0 1 2 A 的逆矩阵． ３．２ 初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是 （１）交换第i行和第 j 行（交换第i列和第 j 列）
2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 E(ij) (2)用常数乘第i行(λ乘第i列) E(i() (3)第i行的k倍加到第j行
2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( . ) O L L L M M M O M M M L L L O E i j （２）用常数λ 乘第i行（λ 乘第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) O O E i λ λ （３）第i行的k倍加到第 j 行
2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (第j列的k倍加到第i列) E(j(K)) 显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵, 且有 E(I,D=E(i,j; E(i() E(j(D)= E(Ck) 初等矩阵与初等变换有着密切的关系: 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 例如要将矩阵A的第1行和第3行交换,则左乘一个 初等矩阵E(1,3): 12 13 33 22 23 21 22 23 10 323 12 13
2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 3 （第 j 列的k倍加到第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) O L M O O k E ij k 显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵， 且有 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ； ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − λ λ 1 ( ( )) 1 E i E i ； ( ( )) ( ( )) 1 E ij k = E ij −k − ． 初等矩阵与初等变换有着密切的关系： 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换． 例如要将矩阵 的第１行和第３行交换，则左乘一个 初等矩阵 A E(1,3)： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ．
2006基础 第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩 阵相应类型一样的初等列变换 12 13 例2设A=a2 31a 32 33 21 22 23 B 32 33 13 23 E 0|,E 00 E 3 00 则以下选项中正确的是 (A)EJErE3A=B; (B)AEJEE3=B (C)EE,E1A=B; (D)AE3E2EI= B 例3设A是3阶可逆矩阵,将A的第1行和第3行 对换后得到的矩阵记作B (1)证明B可逆;
2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 4 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩 阵相应类型一样的初等列变换． 例2 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 11 21 12 22 13 23 31 32 33 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 E1 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E2 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 E3 ． 则以下选项中正确的是 (A) E1E2E3A = B； (B) AE1E2E3 = B； (C) E3E2E1A = B； (D) AE3E2E1 = B． 例３ 设 是３阶可逆矩阵，将 的第１行和第３行 对换后得到的矩阵记作 ． A A B （１） 证明B可逆；
2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (2)求AB-1 123 例4设A=134,B=011,是否存 000 在可逆矩阵P,使得PA=B?若存在,求P; 若不存在,说明理由 例5设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换 得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 00(B)10 001 1010 (D)100 3.3矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得 到,则称矩阵A和B等价 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系,它具有 如下性质: (1)反身性:任何矩阵和自己等价;
2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 5 （２） 求 ． −1 AB 例4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 0 1 3 4 1 2 3 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 B ，是否存 在可逆矩阵 P ，使得 PA = B？若存在，求 P ； 若不存在，说明理由． 例 5 设 A是 3 阶方阵，将 的第 1 列与第 2 列交换 得 ，再把 的第 2 列加到第 3 列得C ， A B B 则满足 AQ = C 的可逆矩阵Q为 (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 1 1 0 0 0 1 0 (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 1 1 0 0 0 1 0 (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 B 可以由矩阵 经过一系列初等变换得 到，则称矩阵 和 等价． A A B 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有 如下性质： （１） 反身性：任何矩阵和自己等价；