三、二维连续型随机向量的概率分布 1、定义设(珍的分布函数为F(y),如 累在非负函数f功,使得对于任意实数xy有 F(x,y)= f(u, v)dudy 则称(E,为二维连续型随机向量,f(x,y)为 (E1的(联合)概率密度或(联合)分布密度
三、 二维连续型随机向量的概率分布 1. 定义 设（X，Y）的分布函数为F（x, y），如 果存在非负函数 f(x, y)，使得对于任意实数 x, y 有 则称（X，Y）为二维连续型随机向量，f(x, y)为 （X,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度
2.概率密度p(x,y)的性质 (1)f(x,y)≥0 (2)」f(x,y)dd=F(+,+o)=1 (3)鲞/在〔xy)处连续则有 aF(,y axa (4》獻(XY)藩在xQ的平面区域D内的概率为 P(X,)∈D)=(x,y)tb
2 .概率密度 p(x, y) 的性质 （1）f（x, y）≥0 （3）若f(x, y)在（x, y）处连续则有 f(x, y) = （4）点（X，Y）落在xoy的平面区域D内的概率为:
例5已知二维连续型随机向量(,的联合概率密度 求(1)K;(2)F(xy);(3)P{0<X<1,0<Y<1};(4)P{X+Y≤1} ke),当x≥0,y≥0 p(x,y) 0,其它 +O+ 解(1)圆为 p(x, y)dxdy=l +00P+0 所以1= ke e-(x+y) 0J0 khe-dxh e-ydy=k(e1on)2=k
例5 已知二维连续型随机向量（X，Y）的联合概率密度， 求 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y ≤1} ( ) , 0, 0 ( , ) 0, x y ke x y p x y − + = 当 其它 解 （1） 因为 + − + − p(x, y)dxdy =1 所以 k e dx e dy k e k ke dxdy x y x x y = = − = = − + + + − − + + − + 2 0 0 0 0 0 ( ) ( | ) 1
(2)当x0,y0时: (utv dudy= e du e"h=(1-e)(1-ey) 0J0 0 0 (1-e-)(l-e"),x>0,y>0 F(x,y) 0 其他 (3)记D={(x,y)0<x<1,0<y1},则 D题0≤X≤1,0≤Y≤1 ∫∫p(x,y)dchy=∫je D eaeh=(1-e-)2≈0.3996 0
（2）当x>0,y>0时： ( ) 0 0 0 0 (1 )(1 ) x y x y u v u v x y e dudv e du e dv e e − + − − − − = = = − − (1 )(1 ) , 0, 0 ( , ) 0 , x y e e x y F x y − − − − = 其他 （3）记D = {（x , y）| 0＜x＜1,0＜y＜1}，则 P X Y {0 1,0 1} ( , ) x y D D p x y dxdy e dxdy − − = = 1 1 1 2 0 0 (1 ) 0.3996 x y e dx e dy e − − − = = −
(4)记D={(X,Y)|X+Y≤1},则有 P(X+Ys1=∫m(x,yp D (x+y) dx d y Xty- D 1-x dx e (x+y) y 0J0 =e(l-e)dx 0 =1-二≈0.2642
（4）记D={（X，Y）|X+Y ≤ 1}，则有 x+y=1