2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 2-1 第2章矩阵代数 2.1矩阵的概念 由mn个数排成m行n列的数表 a12.. ain 21a22a2n …… am1 am2 . amn 称为矩阵,记作A.其中a称作矩阵A的第i行第j 列的元素. 两个矩阵如果大小一样,就说他们是同型的. 两个同型的矩阵,如果对应的元素也都一样,就 说这两个矩阵相等. 若m=1,即A是1×n的, A=(a1,a2,an)称为行矩阵或行向量;若 a1 n=1,即A是mx1的,A=称为列矩阵或 am 列向量;若m=n=1,这是一个1×1的矩阵,只 有一个元素,就看成是一个数,按数的规律进行运算
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 1 第 2 章 矩阵代数 2.1 矩阵的概念 由mn个数排成m行n列的数表 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn n n a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵，记作 A．其中aij称作矩阵 A的第i行第 j 列的元素． 两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的． 两个同型的矩阵，如果对应的元素也都一样，就 说这两个矩阵相等． 若 m = 1 ， 即 A 是 1× n 的 ， ( ) n A a ,a , ,a = 1 2 L 称为行矩阵或行向量；若 n = 1，即 A是m ×1的， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m a a a A M 2 1 称为列矩阵或 列向量；若m = n = 1，这是一个1×1的矩阵，只 有一个元素，就看成是一个数，按数的规律进行运算．
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 2.2矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法,它们的和是和它们 同型的矩阵,相加的规则是矩阵中对应的元素相 加.即 设A=(an B 则 xn mxn A+B a+b 矩阵加法的运算性质: (1)交换律A+B=B+A; (2)结合律A+(B+C)=(4+B)+C; (3)有零矩阵0,对任意矩阵A,有 A+0=0+A=4; (4)任意矩阵A,都有负矩阵-A,使得 A+(-A)=0 其中-A=(-an) 设k是一个数,A=(an),则数k和矩阵A mxn 的数乘为 kA=lka ixn 设k,l是两个常数,A,B是同型矩阵,则 (1)1A=A,0A=0;
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 2 2.2 矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法，它们的和是和它们 同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相 加．即 设 ( )m n A aij × = ， ( )m n B bij × = ，则 ( )m n A B aij bij × + = + ． 矩阵加法的运算性质： （１） 交换律 A + B = B + A； （２） 结合律 A + (B + C) = (A + B) + C ； （３） 有零矩阵０，对任意矩阵 A，有 A + 0 = 0 + A = A； （４） 任意矩阵 A，都有负矩阵− A，使得 A + (−A) = 0． 其中 ( ) ij − A = − a ． 设k 是一个数， ( )m n A aij × = ，则数k 和矩阵 A 的数乘为 ( )m n kA kaij × = 设k,l是两个常数， A,B是同型矩阵，则 （１）1A = A，0A = 0；
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 (2)k(l4)=(k)A; (3)k(A+B)=k4+kB; (4)(K+2)a= kA+lA 设A lmxl' B=bi 则 Xn AB=c 其中 Ci=a;b1 +ai2b2+.+an b 矩阵乘法有性质: (1)结合律(BC)=(AB)C (2)分配律(A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB (3)k是常数,则 k(AB)=(kA)B=A(KB) ●设A,B是m阶方阵,则AB|=A|B 设矩阵A是n阶方阵,A可以自乘,k个A相乘 4“叫A的/次幂 矩阵的幂有性质: (1)4A=A k+l (2)(A4)=A
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 3 （２）k(lA) = (kl)A； （３）k(A + B) = kA + kB； （４）(k + l)A = kA + lA． 设 ( )m l A aij × = ， ( )l n B bij × = ，则 ( )m n ij AB c × = ， 其中 ij i j i j il lj c = a b + a b +L+ a b 1 1 2 2 ． 矩阵乘法有性质： （１）结合律 A(BC) = (AB)C ； （２）分配律 （A + B)C = AC + BC ， C(A + B) = CA + CB． （３）k 是常数，则 k(AB) = (kA)B = A(kB)． z 设 A,B是n阶方阵，则 AB = A B ． 设矩阵 A是n阶方阵，A可以自乘，k 个 A相乘 k A 叫 A的k 次幂． 矩阵的幂有性质： （１） k l k l A A A + = ； （２）( ) kl l k A = A ．
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 设A是H阶方阵, f(r=anx"+am-x+.+ax+ao 是一个一元n次多项式. 用A代多项式中的x,得到矩阵多项式 f∫( A=aA"+aA++++++t+A+ao 矩阵多项式还是一个n阶方阵 设A xn 21 12 22 2 n 称为矩阵A的转置矩阵,记作A7 转置有性质: (1)(A)=A; (2)(A+B)=A+B7 (3)(4)=k4; (4)(AB)=BA7;
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 4 设 A是n阶方阵， 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − L 是一个一元n次多项式． 用 A代多项式中的 x，得到矩阵多项式 f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( ) = + + + + − − L 矩阵多项式还是一个n阶方阵． 设 ( )m n A aij × = ，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n mn m m a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 12 22 2 11 21 1 称为矩阵 A的转置矩阵，记作 T A ． 转置有性质： （１） A A； T T ( ) = （２） T T T (A + B) = A + B ； （３） ； T T (kA) = kA （４） T T T （AB) = B A ；
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 例1设a=(1,0,-1),A=aar,m是 正整数,求a/-A 例2(1)命题“A2=0,则A=0”是否正确, 若正确,证明之,若不正确,举例说明 (2)A是二阶矩阵,求满足A2=0的所有矩阵 3)证明A2=0,且AT=A,则A=0. 例3设A=020,而n≥2是整数,求 10 An-2A- 例4设A=110,求A 01 例5设a=(1,2,3,4) B y2,则 23 4n=?
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 5 例 1 设 ( )T α = 1, 0, − 1 ， T A = αα ， 是 正整数，求 n n aI − A ． 例２（１）命题“ 0 2 A = ，则 A = 0”是否正确， 若正确，证明之，若不正确，举例说明． （２） A是二阶矩阵，求满足 0 2 A = 的所有矩阵． （３）证明 0 2 A = ，且 A A T = ，则 A = 0． 例 3 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，而n ≥ 2是整数，求 1 2 − − n n A A ． 例 4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 A ，求 n A ． 例5 设 ( )T α = 1, 2, 3, 4 ， T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 , 3 1 , 2 1 β 1, ， T A = αβ ，则 = n A ？