2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 第4章向量组的线性相关性 复习本章内容要达到理解n维向量,向量的 线性组合与线性表示等概念.要正确理解向量组 线性相关和线性无关的定义,了解并会用向量组 线性相关性的有关性质及判别法.了解向量组的 极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量 组的极大线性无关组及秩.还要了解向量组等价 的概念,以及向量组的秩与矩阵的秩的关系 向量的线性组合与线性表示 由n个实数a1,a2,…,an组成的有序数组称 为n维向量,记作 2 n 其中a称为向量的第i个分量.这个向量是 个列向量.行向量记作 129",thn) 分量全为0的向量称为零向量, 记作0=(0,0,…,0)
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—1 第 4 章 向量组的线性相关性 复习本章内容要达到理解n维向量，向量的 线性组合与线性表示等概念．要正确理解向量组 线性相关和线性无关的定义，了解并会用向量组 线性相关性的有关性质及判别法．了解向量组的 极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量 组的极大线性无关组及秩．还要了解向量组等价 的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩的关系． 4．1 向量的线性组合与线性表示 由n个实数 组成的有序数组称 a a an , , , 1 2 L 为n维向量，记作 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n a a a M 2 1 α ， 其中ai称为向量α 的第i个分量．这个向量是一 个列向量．行向量记作 ( ) n T α = a1 ,a2 ,L,a ． 分量全为０的向量称为零向量， 记作 ( ) ． T 0 = 0， 0， L， 0
2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 两个n维向量a=(a1,a2,…,an) B=(61,b2,…,bn),若它们的对应分量全相等, 即a;=b;,i=1,2,…,n则称向量a和B相等, 记作a=B 设两个n维向量a=(an,a2,…,an), B=(b1,b2…,bn),定义 β=(a+b1,a2+b2,…,an+bn) 称为向量a与B的和 设a 1 25 称-a=(-a1,-a2,…-an)为向量a的负向量 于是定义向量的减法 B=a+(-B) 设a=(a1,an2…,an),k是实数,定义 ka=(ka1,ka2,…,kan) 称为数k与向量a的数量乘法,简称数乘 在n维向量中只讨论这两种运算 对任意n维向量a,β,y及任意实数k,l
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—2 两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ， ( T b b bn , , , β = 1 2 L ) ，若它们的对应分量全相等， 即ai = bi，i = 1, 2,L, n则称向量α 和β 相等， 记作α = β ． 设两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ， ( )T b b bn , , , β = 1 2 L ，定义 ( )T + = a + b a + b an + bn , , , α β 1 1 2 2 L ， 称为向量α 与β 的和． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ， 称 ( ) 为向量 T − = − a −a −an , , , α 1 2 L α 的负向量． 于是定义向量的减法： α − β = α +（− β）． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ，k是实数，定义 ( )T k ka ka kan , , , α = 1 2 L ， 称为数k与向量α 的数量乘法，简称数乘． 在n维向量中只讨论这两种运算． 对任意n维向量α，β，γ 及任意实数k,l
2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 向量的加法及数量乘法满足以下8个性质: (1)a+B=B+a; (2)(a+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=c; (4)a+(-a)=0 (5)1·c= (6)k(la)=(kl)a (7)k(a+B)=ka+kB (8)(k+Da= ka+la 设a1,a2…,C是n维向量 k1,k2,…,k,是数,则 K,a,tk 2 +k 称为向量a1,a2,…,a的一个线性组合 若B=k1a1+k2C2+…+k,a3,称B 可由a1,2,…,C线性表示或线性表出. B可由ax1,a2,…,C线性表示,即向量方程 β=x1a1+x2C2+…+xa有解.所以判断 个向量能否由一个向量组线性表示,可以根据 方程组有解的充分必要条件来进行判断.B可由 a1,C2,…,a,线性表示,还可以看成是向量组B, a1,C2,…,a线性相关,所以也可以用向量组线 性相关的性质来判断
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—3 向量的加法及数量乘法满足以下８个性质： （１）α + β = β + α ； （２）( ) α + β + γ = α + (β + γ )； （３）α + 0 = α ； （４）α +（−α）= 0； （５）1⋅α = α ； （６）k(lα) = (kl)α ； （７）k(α + β ) = kα + kβ ； （８）(k + l)α = kα + lα ． 设α α α s , , , 1 2 L 是n维向量， k k ks , , , 1 2 L 是数，则 k1α 1 + k2α 2 + L+ ksα s 称为向量α α α s , , , 1 2 L 的一个线性组合． 若β = k1α 1 + k2α 2 + L+ ksα s，称β 可由α α α s , , , 1 2 L 线性表示或线性表出． β 可由α α α s , , , 1 2 L 线性表示，即向量方程 β = x1α 1 + x2α 2 + L+ xsα s有解．所以判断 一个向量能否由一个向量组线性表示，可以根据 方程组有解的充分必要条件来进行判断．β 可由 α α α s , , , 1 2 L 线性表示，还可以看成是向量组β ， α α α s , , , 1 2 L 线性相关，所以也可以用向量组线 性相关的性质来判断．
2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 求向量线性表示的问题归根结底是解方程 组的问题,通常有两种方法来处理,一种方法是 写出待定的表示式,然后解线性方程组.另一种 方法是将向量按列写成矩阵,对矩阵施行行初等 变换化作行简化阶梯形,这时,非主元所在列的 向量可以由主元所在列的向量线性表示,表示式 中的系数恰是非主元所在列对应的分量 例1设a1=(,2,3),a2=(0,1,4) a3=(2,3,6)},B=(-1,1,5),试用 a1,C2,3线性表示f 例2设a1=(,4,0,2) B=(3,10,a,4)y.a取何值时,B可由 a1,ax2,ax3线性表示?写出表示式
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—4 求向量线性表示的问题归根结底是解方程 组的问题，通常有两种方法来处理，一种方法是 写出待定的表示式，然后解线性方程组．另一种 方法是将向量按列写成矩阵，对矩阵施行行初等 变换化作行简化阶梯形，这时，非主元所在列的 向量可以由主元所在列的向量线性表示，表示式 中的系数恰是非主元所在列对应的分量． 例1 设 ( ) ， T α1 = 1, 2, 3 ( ) T α 2 = 0, 1, 4 ， ( )T α 3 = 2, 3, 6 ， ( ) T β = − 1, 1, 5 ，试用 1 2 3 α ,α ,α 线性表示β ． 例２ 设 ( ) ， T α1 = 1, 4, 0, 2 ( )T α 2 = 2, 7, 1, 3 ， ( )T α 3 = 0, 1, − 1, 2 ， ( T β = 3, 10, a, 4) ．a取何值时，β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示？写出表示式．
2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 4.2向量组的线性相关与线性无关 设a1,C2,…,a是n维向量,若存在不全为 零的数k1,k2,…,k,使得 k1C1+k,a,+…+k 成立,则称向量组a1,C2,…,a,线性相关.否则 称为线性无关 只有一个向量的向量组{a},如果a=0,则 向量组是线性相关的;如果C≠0,则向量组是 线性无关的. 一个不少于2个向量的向量组若线性相关, 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示.反之,若一个向量组中,有一个 向量可以由其余向量线性表示,那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是:向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 这个命题中要特别注意的是"有一个"和 "其余"这两个词.一个向量组线性相关,则 至少有一个向量可以由其余向量线性表示,而 不是每个向量都可以由其余向量线性表示 例如ax1=(1,0,0),a2=(2,0,0)y
2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—5 ４． 2 向量组的线性相关与线性无关 设α α α s , , , 1 2 L 是n维向量，若存在不全为 零的数 ，使得 k k ks , , , 1 2 L k1α 1 + k2α 2 + L+ ksα s = 0 成立，则称向量组α α α s , , , 1 2 L 线性相关．否则 称为线性无关． 只有一个向量的向量组{α}，如果α = 0，则 向量组是线性相关的；如果α ≠ 0，则向量组是 线性无关的． 一个不少于２个向量的向量组若线性相关， 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个 向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组 是线性相关的． 这个命题的等价命题就是：向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示． 这个命题中要特别注意的是＂有一个＂和 ＂其余＂这两个词．一个向量组线性相关，则 至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而 不是每个向量都可以由其余向量线性表示． 例如 ( ) ， T α1 = 1, 0, 0 ( ) T α 2 = 2, 0, 0