2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 第5章线性方程组 n元线性方程组 a, x, tax t.ta,x=b n ,;X1+,X+∴十 ann …X+x十+a, n n nn n 其中x1,x2…,xn表示n个未知量,m是方程个 数,an表示第个方程中含x,项的系数, 1,b2,…,bn叫常数项 记系数矩阵为A=(a x=(x1,x2,,xn),常数项向量为 b=(b1,b2,…,bn),则线性方程组可写作矩阵 形式: Ax= b 如果记a1=(a 11219m1 2 129·229m2 (a1n,a2n,…,am)y,则线性方程组可 以表示成向量方程:
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—1 第 5 章 线性方程组 n元线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L LLLLLLLLLLL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 其中 n x , x , , x 1 2 L 表示 个未知量，m 是方程个 数， 表示第 n ij a i个方程中含 j x 项的系数， m b ,b , ,b 1 2 L 叫常数项． 记系数矩阵为 ( ) ij A = a ， x = T n (x , x , , x ) 1 2 L ，常数项向量为 T m b (b ,b , ,b ) = 1 2 L ，则线性方程组可写作矩阵 形式： Ax = b． 如果记 ( )T m a a a 1 11 21 1 α = , ,L, ， ( )T m a a a 2 12 22 2 α = , ,L, ， ( ) T n n n mn , a ,a , ,a L α = 1 2 L ，则线性方程组可 以表示成向量方程：
2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 x11+x2C2+…+xnCn 若将一组数C1,C2,…,Cn代替未知量 x1,x2,…,n,使方程组中的m个等式都成立,就 说(Cc1,C2,…,Cn)是方程组的一个解方程组的全体 解称为方程组的解集.解集相同的方程组称为同解方 程组. 线性方程组中,如果常数项为0,即b=0,称 Ax=0为齐次线性方程组.若常数项不为0,称 Ax=b为非齐次线性方程组 对于非齐次线性方程组Ar=b,首先是要判别 给定的方程组是否有解?在有解的情况下,要知道方 程组有多少解?如果解不唯一,那么这些解有什么性 质?它们之间有什么联系与规律?当然最终要会求 出方程组的解 对于齐次线性方程组Ax=0,一定有解,0就 是它的一个解,称为零解.所以关心的是什么情况下 会有非零解?这些非零解有什么性质?相互之间有 什么联系和规律?以及求齐次线性方程组的非零解 的方法等 51高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法.设n元 线性方程组
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—2 x x x b 1α 1 + 2α 2 +L+ nα n = ． 若将一组数 代替未知量 n c ,c , ,c 1 2 L n x , x , , x 1 2 L ，使方程组中的m个等式都成立，就 说 是方程组的一个解．方程组的全体 解称为方程组的解集．解集相同的方程组称为同解方 程组． ( , , , ) 1 2 n c c L c 线性方程组中，如果常数项为０，即b = 0，称 Ax = 0为齐次线性方程组．若常数项不为０，称 Ax = b为非齐次线性方程组． 对于非齐次线性方程组 Ax = b，首先是要判别 给定的方程组是否有解？在有解的情况下，要知道方 程组有多少解？如果解不唯一，那么这些解有什么性 质？它们之间有什么联系与规律？当然最终要会求 出方程组的解． 对于齐次线性方程组 Ax = 0，一定有解，０就 是它的一个解，称为零解．所以关心的是什么情况下 会有非零解？这些非零解有什么性质？相互之间有 什么联系和规律？以及求齐次线性方程组的非零解 的方法等． 5.1 高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法．设n元 线性方程组
2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 111 122 +…+a1nxn=b1 a2uxta22x2+ .+a2nxn=b2 amIx,+am2x2+.+amnxn=bm 矩阵 12 2n b 2 n 叫线性方程组的增广矩阵记作A=(Ab) 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换,化作行阶梯形 12 In 21 22 2 m2 n
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L LLLLLLLLLLL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b L L L L L L L L 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 叫线性方程组的增广矩阵．记作 A = ( A b )． 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形． ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b L L L L L L L L 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1
2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 C C 12 In 2r n 2 r+1 0 根据行阶梯形,对方程组的解有如下的结论: (1)若ln1≠0,方程组无解; (2)若ln1=0,方程组有解.这时又分两种情况 情况1:r=n,方程组有唯一解 情况2:r<n,方程组有无穷多解 例1试问t取什么值时,线性方程组 +2x,=-4. x1+x2+t3=4, C,=tx 2 无解,有唯一解,有无穷多解
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → → + 0 0 1 22 2 2 2 11 12 1 1 1 M L O M M M M L L L L L r rr rn r r n r n d c c d c c c d c c c c d 根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论： （１）若 0，方程组无解； dr+1 ≠ （２）若 0 dr+1 = ，方程组有解．这时又分两种情况： 情况１：r = n，方程组有唯一解； 情况２：r < n，方程组有无穷多解． 例 1 试问t 取什么值时，线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − + + = − + = − , 4, 2 4, 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x tx x t x x tx x x x 无解，有唯一解，有无穷多解．
2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 52非齐次线性方程组Ax=b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩.即 r(A)=r(4) 如果从方程组的向量表示形式来看,方程组为 x11+x2a,+…+x,n=b. 方程组有解就意味着b可由系数矩阵A的列向量组 线性表出,或说b是系数矩阵A的列向量组的线性组 若n元非齐次线性方程组Ax=b有解, 当r(A)=n时,方程组Ax=b有惟一解; r(A)<n时,方程组4x=b有无穷多解 例2非齐次线性方程组Ax=b,其中A是m×n 矩阵,则Ax=b有惟一解的充分必要条件是 (4)r(A)=n; (B)r(A=n (C)r(A)=m; (D)r(A)=n且b为A的列向量组的线性组合
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—5 5.2 非齐次线性方程组 Ax = b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即 r(A) = r(A)． 如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为 x x x b 1α 1 + 2α 2 +L+ nα n = ． 方程组有解就意味着b可由系数矩阵 A的列向量组 线性表出，或说b是系数矩阵 A的列向量组的线性组 合． 若n元非齐次线性方程组 Ax = b有解， 当r(A) = n时，方程组 Ax = b有惟一解； r(A) < n时，方程组 Ax = b有无穷多解． 例 2 非齐次线性方程组 Ax = b，其中 A是 矩阵，则 m× n Ax = b 有惟一解的充分必要条件是 （ ）． (A) r(A) = n； (B) r(A) = n； (C) r(A) = m； (D) r(A) = n 且b为 A的列向量组的线性组合．