2）定理条件只是充分的.本定理可推广为y=f(x)在（a,b)内可导,且lim f(x)= lim f(x)x->a+x-→b一>在(α,b)内至少存在一点,使 f'()=0f(at),x=a证明提示：设 F(x)=(x),a<x<bx=bf(b-),证F(x)在[α,b] 上满足罗尔定理oleo0x机动目录上页下页返回结束
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)Rolle定理实质上是符合某种条件的“中间值S的的存在性”定理.但没有给出确定中间值的具体方法而对于一些特殊的函数，定理中也是可以确定的例如,1(1) f(x)x E[-2,2]1+x?(2) f(x) = sin xx E[O,元]1000X机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) Rolle定理实质上是符合某种条件的“中间值ξ的 2 1 (1) ( ) [ 2, 2] 1 f x x x = − + 的存在性”定理. 但没有给出确定中间值ξ的具体方法. 而对于一些特殊的函数, 定理中ξ也是可以确定的. 例如, (2) ( ) sin [0, ] f x x x =
例1. 证明方程 x-5x+1=0 有且仅有一个小于1的正实根.证: 1) 存在性设,f(x)=x2-5x+1,则f(x)在[0，11连续,且f(O)=1,f(I)=-3. 由介值定理知存在 xo E(O,1),使f(xo）=0，即方程有小于1的正根 xo .2)唯一性.假设另有xi(O,1), ≠xo,使f(xi)=0,： f(x)在以xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：.在xo，xi之间至少存在一点 ,使f(S)=0.但 f(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真！oeo0x机动自录上页下页返回结束
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y= f(x)二、拉格朗日中值定理Vy=f(x)满足(1)在区间「α，bl上连续Ob x3a(2)在区间（α,b）内可导f(b)- f(a)1>至少存在一点 ε(a,b),使 f'()=b-a证:问题转化为证 (s)-()-()=0b-a0(x) = f(x) _ f(b)-f(a)作辅助函数Xb-aLagrange显然，の(x)在「α,bl上连续,在（α,b）内可导，且(a)=b(a)-af(b) =0(b),由罗尔定理知至少存在一点b-a=E(α,b),使β()=0,即定理结论成立.证毕olo0x拉氏自录上页下页返回结束
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
说明：1)定理的另一种表达形式：：E(αa,b),:可写成=α+(b-α) 0<<1,因此定理结论可写为: 存在(0,1) 使得 f(b)-f(a)=(b-a)f'[a+0(b-a))2)定理建立了 f(x)在[a,bl上的平均变化率f(b)- f(a)(整体性质)与,f(x)在(a,b)内某点导数f()b-a(局部性质)之间的联系3)定理证明方法：辅助函数法是一种重要的解题方法辅助函数也可构造为f(b)- f(a)F(x)= f(x)-[f(a)+a)lb-a4)定理条件是充分的，而非必要的0o0l0?机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理的另一种表达形式: ( , ), a b = + − a b a ( ) 0 1, (0,1) f b f a b a f a b a ( ) ( ) ( ) [ ( )] − = − + − f b f a ( ) ( ) b a − − f ( ) 可写成 因此定理结论可写为: 存在 使得 (整体性质)与 f (x)在(a , b)内某点导数 3) 定理证明方法: 辅助函数法是一种重要的解题方法. 2) 定理建立了 f (x) 在 [a , b] 上的平均变化率 辅助函数也可构造为: 4) 定理条件是充分的, 而非必要的. (局部性质)之间的联系. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )+ ( )] f b f a F x f x f a x a b a − = − − −