线性子空间的和的维数(理论结果) 命题22设a1,,as与β1,,Bt是V的两个向量组,则 as)+L(1,…,t)=L(a1,…,as,β1,…,βt) 引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩 充成该子空间的一组基。 proof 定理24(维数公式)设W1与W2是V的两个子空间,则有 dim W1+dim W2= dim(W1+W2)+dim(WinW2) oro 推论2.5设W1,W2,,Wm是V的线性子空间,则有 dm(W1+…+Wm)≤∑ dim Wi 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和的维数(理论结果 ) 引理 2.3: 线性子空 间中的 线性无关的向量 组可以被 扩 充成 该子空 间的一 组基。 proof proof 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 6 proof
线性子空间的和的求法:例子 设V=K4,W1=L(a1,a2,a3),W2=L(B1,B2),其中 a1=(1,2,-1,-3),a2=(-1,-2,2,1),a3=(-1,-3,0,5) B1=(-1,0,4,-2),β2=(0,5,9,-14) 求W1+W2与W1∩W2的基和维数。 分析:W1+W2=L(01,02,3,β1,B2) a1,a2,a3,β1,β2的极大线性无关组就是W1+W2的一组基 A=(01,2,a3,B1,B2) 初等行变换 简化行阶梯形矩阵 主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组 对于a∈W1∩W2,存在xt,i=1,,5,使得 a=X1a1+X2a2+x303=-X4月1-X562, 即x1a1+x2a2+x303+X4B1+x52=0 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 7 主元所在的列对应的向量 组就是一个极大 线性无关 组
线性子空间的和的求法:例子 1-1-1-10 10-20-1 2 1-30 5 01-10-3 A 12049等行变换 00014 315-2-14 00000 →a1,a2,β1是W1+W2的一组基,且dm(W1+W2)=3 →a1,a2是W1的一组基,且dmW1=2 →β1,B2是W2的一组基,且dimW2=2 对于a∈W1∩W2,存在ⅹ;,i=1,,4,使得 a=x1a1+X202=-X361-X4B2 即×1a1+x2a2+x31+x4B2=0-41+B2 (4,5,-7,-6) 基础解系:1=(1,3,-4,1) 是W1∩W2的一组基 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 8 基 础解系: