HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH单位向量及n维向量间的夹角()当x=1时,称x为单位向量[x,y](2)当x±0,y± 0时,0 = arccosxlly称为n维向量x与y的夹角例 求向量α = (1,2,2,3)与β = (3,1,5,1)的夹角N218a·B：coso解23~2.6αB元:.04上页下质回
单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、正交向量组的概念及求法1正交的概念当x，以=0时称向量x与正交由定义知若x=0则x与任何向量都正交2正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组页回下页
１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3正交向量组的性质定理1若n维向量α.α.….,α是一组两两正交的非零向量，则αα2..…α线性无关证明设有,,,,使α, + 2,α, + ..+ α, = 0以a左乘上式两端得 αα,=0由α ± 0 = α, α, =[αi~ ± 0, 从而有, =0 .同理可得, =.….= ,=0.故α1,α2,……,α,线性无关页回下页
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4向量空间的正交基若α,α2,…,α,是向量空间V的一个基,且αi,α2,…,α,是两两正交的非零向量组,则称αj,α2,……,α,是向量空间V的正交基例1已知三维向量空间中两个向量1111-2αi =α2 =1正交，试求α,使α,,α,,α,构成三维空间的一个正交基.页回下质
例1 已知三维向量空间中两个向量 = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解 设α =(xi,x2,x) ±0,且分别与αj,α,正交则有[α1,α3] =[α2,α3] = 0[α1,α3 = x + x, + x3 = 0即[α2,α3I = x, - 2x2 + x3 = 0解之得Xi = -x3, x2 = 0.8xi0若令 x, =1,则有α3 = x2 /=X3)由上可知α,α,α,构成三维空间的一个正交基上页回下页
即 = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有 − = = 1 0 1 3 2 1 3 x x x 由上可知 1 2 3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T x x x