例2设 fx,y=w2+j,(x,)'(0,0, 0, (x,y)=(0,0), 证明 ,1im。f(x,y)=0. (x,y)®(0,0) 证（证法一）"e>0,由 前页
前页 后页 返回 例2 设 证明 证 (证法一)
=叫e+, 可知$d=V2e,当0<Vx2+y2<d时，便有 故limf(x,y)=0. (x,y)®(0,0) 注意不要把上面的估计式错写成： x2-y2 y-0 前过
前页 后页 返回 可知 故 注意 不要把上面的估计式错写成：
因为(x,y)®(0,0)的过程只要求(x,y)1(0,0),即 x2+y210,南并不要米xy10. (证法二)作极生标变换X=c0sj,y=rsinj.道时 (x,y)®(0,0)等价于r®0（对在何）.由于 sin 因此，"e>0,只须r=√x2+y2<d=2VE,对径何J 前顶
前页 后页 返回 因为 的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 这时 等价于 ( 对任何 ). 由于 因此， 对任何
都有 1fx,)-01EF2<e,即1im。f(x,J)=0. (x,y)®(0,0) 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则（而且证明方法也相类似）. 定理16.5imf(P)=A的克要条件是：对于D的 P®Po PiD 任一子集E,只要P,仍是E的聚点，就有 lim f(P)=A. P®PO PiE 前页
前页 后页 返回 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理16.5 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚点,就有
推纶1若SE1iD,P。是E,的聚点，使limf(P) PR Po Pi E 不存在，则imf(P)也不存在. PR PO PID 推论2若$E1,E2iD,P是它们的聚点，使得 lim f(P)=A lim f(P)=4 P®P PR PO Pi E Pi E2 都存在，但A,1A2,则imf(P)不存在. PiD 前
前页 后页 返回 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 也不存在． 推论2 若 是它们的聚点，使得 都存在，但 , 则 不存在．