第三节体积 一、旋转体的体积 巴二、平行截面面积为己知的 立体的体积 小结思考题
庄一旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 上页
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
般地,如果旋转体是由连续曲线y=∫(x) 直线x=a、x=b轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为 J x∈[a,b 牛在a,上任取小区 0、a dx b Jx, x+ dx 工工工 取以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,∥=f(x)2 旋转体的体积为=∫of(x)at 上页
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f ( x) 、 直 线 x = a 、x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x [a,b] 在[a, b]上任取小区 间[ x, x + d x]， 取 以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x d x b a 2 [ ( )] = y = f (x)
例1连接坐标原点及点(h,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕轴旋 转构成一个底半径为、高为的圆锥体,计算 圆锥体的体积 解直线OP方程为 y-h A取积分变量为,x∈0,h 在0,h上任取小区间x,x+dlxl, 上页
y 例 1 连接坐标原点O 及 点P(h,r) 的直线、直线 x = h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴 旋 转构成一个底半径为r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ，x [0,h] 在[0,h]上任取小区间[ x, x + d x] ， x o 直线 OP 方程为
以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 ="x|d h h 园锥体的体积 2 ch r 2 orx =|兀一x d h h23 3 0 上页
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o