《高等数学》课程教学资源：数量积向量积混合积

第四节数量积向量积混合积 一、两向量的数量积 嘠二、两向量的向量积 向量的混合积 四、小结思考题

生-、两向量的数量积 c实例一物体在常勇作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力所作的功为 W=|F|cos(其怕乓的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 工工工 定义向量的数量积为a·b d·b=a‖!b|cosθ(其啪为屿的夹角) 上页

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2 ，以s  表示位移，则力F  所作的功为 W | F | | s | cos   = (其中 为F  与s  的夹角) 启示 向量a  与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其 中 为a  b与  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积

·b=4lb|cos6 1b cos0=Prjb, al cose=Pr jba, d·b=b|Pria=|4|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 牛数积也称为“点积”、“内积” 上页

a  b   a b | a ||b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ab       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明: aa=al 证∵=0,∴a,a=a‖lcos=|2 (2)ab=0←→a⊥b 证(→)a,b=0,1a≠=0,1b≠0, 工工工 c0sb=0,=“,∴a⊥b 2 (←)∵a⊥b,∴6= ∴cosb=0. 2 d·b=|bcos6=0. 上页

关于数量积的说明： (2) a b = 0    a b .   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,   cos = 0, a b .    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b ,    ⊥  cos = 0, a b =| a ||b | cos = 0.      = 0, | | | | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)分配律:(a+b)c=a·c+bc; (3)若为数:(a)·b=a·(b)=(a·b), 工工工 若λ、/数:(n)·(b)=Ay(a.b) 上页

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  