第七节平面及其方程 巴一、平面的点法式方程 平面的一般方程 巴三、两平面的夹角 四四、小结思考题
生一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 y 午法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M(x0,y, 设平面上的任一点为M(x,,B 牛必有M,M⊥n→MMn=0 上页
x y z oM0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M ( x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ 0 M0M n = 一、平面的点法式方程 n
s:.M.M=(x-xo,y-yo, z-zo3 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 平面的点法式方程 庄其中法向量n=(4C,已知点(巧,, 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形 上页
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解AB={-3,4,-6} 50 AC={-2,3,-1} 取n=AB×AC={14,9,1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-x-15=0. 上页
例 1 求过三点A(2,−1,4) 、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC = {1 4, 9,−1}, 所求平面方程为 1 4( x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 1 4x + 9 y − z − 1 5 = 0
庄例2求过点(1),且垂直于平一+2=7和 3x+2y-12x+5=0的平面方程. 解五1={1,-1,1},2={3,2,-12} 取法向量n=n1Xn2={10,15,5} 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0. 上页
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7 和 3 x + 2 y − 1 2z + 5 = 0 的平面方程. {1, 1,1}, n1 = − {3,2, 1 2} n2 = − 取法向量 n n1 n2 = = {1 0,1 5, 5}, 1 0( x − 1) + 1 5( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3 y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解