第二节换元积分法 一、第一类换元法 第二类换元法 巴三、小结思考题
王=、第一类换元法 问题∫cos2 xdx= sin2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→dlx=dt, j cos 2xdx=cos tdt=a sint+=asin 2x+C 2 2 2 上页
问题 cos 2 xdx= sin 2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 d x = dt cos 2 xdx tdt = cos 2 1 = sin t + C 2 1 sin 2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下: 上设F(a)=f(m)则∫f(n)dn=F()+C 如果u=g(x)(可微) dhq(x)=∫|q(x)q(xdx 工工工 「[φ(x)q'(x)dx=FIq(x)+C Jf(n)dnl(x,由此可得换元法定理 上页
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u d u = F u + C 如果 u = ( x ) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f [ ( x)]( x)d x = F[ ( x)] + C = = ( ) [ ( ) ] u x f u d u 由此可得换元法定理
定理1设f()具有原函数,l=p(x)可导, 则有换元公式 王∫n9(x)9(x)=rol u=o(x) 第一类换元公式(凑微分法) 庄说明使用此公式的关键在于将 牛了a()化为0x)(x 观察重点不同,所得结论不同 上页
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u x f u du 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g( x)d x 化为 [ ( )] ( ) . f x x d x 观察重点不同，所得结论不同. u = ( x)可导， 则有换元公式 定理1
例1求sin2xdx. 解(一)∫ sin 2xdx=sin 2xd(2x) 2 =--c0s2x+C 2 解(二)「sin2xx=2 sinx cosxdx 2]sin xd(sin x)=(sin x)+C 解(三)∫sin2xaAx=2∫ sin x cosxdx -2 cos xd(cos x)=-(cos x)+C 上页
例1 求 sin 2 . xdx 解（一） sin 2 xdx = sin 2 (2 ) 2 1 x d x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin 2 xdx = 2 sin x cos xdx = 2 sin x d(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin 2 xdx = 2 sin x cos xdx = −2 cos x d(cos x) (cos ) . 2 = − x + C