第二节平面图形的面积 一、直角坐标系情形 四二、极坐标系情形 巴三、小结思考题
、直角坐标系情形 y=∫(x) J y2(x) f1(x) 0 xx+△x b x△xb 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 b A= f(rdx A=I(x)-f(xldx 上页
x y o y = f ( x) a b x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f (x) f (x)]d x 2 1 一、直角坐标系情形 x x + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) P=s 选x为积分变量x∈0,1 面积元素d4=(x-x2)dx A=LOx-xdx=i=r-t> 2 3 3 3 王页下
例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x [0,1] A ( x x )d x 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
庄例2计算由曲线y=x一6X和二所国成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 y=x-6x = →>(0,0),(2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈[-2,3l (1)x∈[-2,01dA4=(x3-6x-x2)dx (2)x∈10,3,d42=(x2-x3+6x)dx 上页 圆
例 2 计算由曲线y x 6 x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x [−2, 3] (1) x [−2, 0], d A ( x 6x x )d x 3 2 1 = − − (2) x [0,3], d A ( x x 6x)d x 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
于是所求面积A=A1+A2 A=(x'-6x-x)dx+l(x-x+6x)dx 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 上页
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )d x 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)d x 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？