《高等数学》课程教学资源：广义积分的审敛法-函数

第八节广义积分的审敛法 I一函数 无穷限的广义积分的审敛法 无界函数的广义积分的审敛法 r-函数 巴四、小结

生一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法 上定理1设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续, x 且f(x)20.若函数F(x)=Jf()m 工工工 在+0)上有界,则广义积分Jf(x)d收敛 由定理1,对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 上页

一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续，   + +   = +  a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．

定理2(比较审敛原理)设函数∫(x)、g(x)在 区间a,+∞)上连续,如果0≤f(x)≤g(x)(a≤ +0 x<+∞)并且「g(x)收敛,则「f(x) 也收敛;如果0(x)S∫(x)(a≤x<+∞,并 )+OO 且∫g(x)发散,则∫(x)k也发散 工工工 证设a<b+∞,由0f(x)≤g(x)及J(x) b 收敛,得∫f(x)ksJs(x)sJg(x) 即F(b)=「f(x)d在a+)上有上界 上页

且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在     +  +  +  +     +   +  +     a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( )     + +     +    a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即F(b) =  f (x)d x在[a,+ ) 上有上界． b a

由定理1知「f(x)dx收敛 如果0≤g(x)≤f(x)且∫g(x)发散, 王则∫(x)必定发散 如果「f(x)d收敛,由第一部分知 工工工 g(x)dc也收,这与假设矛盾 例如,广义积分 d 当p>1时收敛; a> a 当P≤1时发散 上页

由定理１知  收敛． + a f (x)d x ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散   + +   a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知   + + a a g x dx f x dx ( )  ( ) 例如，        + 当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p

定理3(比较审敛法1)设函数f(x)在区间 Ia,+∞)(a>0)上连续,且∫(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得f(x)≤ M P 王asx+0则广(x收做如果存在 N 常数N>0,使得f(x)≥(a≤x<+) 牛则厂f(x)发散 上页

则 发散． 常数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如果 定理 比较审敛法１ 设函数 在区间   + +     +    +     +    a a p f x d x a x x N N f x a x f x d x x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3 ( ) ( )