第五节曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 巴三、柱面 四四、小结思考题
、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 上曲面方程的定义: 如果曲面与三元方程F(x,,x)=0有下述关系 (1)曲面上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程; Ⅻ那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面的方程, 牛而曲面就叫做方程的图形 上页
水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z) = 0 有下述关系： （1）曲 面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y,z) = 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M(x0,y,0)、半径 的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM0|=R (x-xn)2+(y-yn)2+(z-zn)2=R 王所求方程为(x-x)+(-ny+(-动)=R2 王特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 上页
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为R 的球面方程. 解 设M( x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM 0 |= R ( x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例2求与原点及M0(2,3,4)的距离之比为:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点, 根据题意有 I 1 MM 2 2 2 r ty+z (x-2)2+(y-3)+(z-4)2 2 所求方程为(x+2)+(y+1)2+(z+ 116 3 3 9 上页
例 2 求与原点O 及 ( 2,3,4 ) M 0 的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M( x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + 所求方程为 x + y z
例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段B的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,z)是所求平面上任一点, 根据题意有|MA|=|MB|, (x-1)2+(y-2)2+(x-3) =(x-2)+(+1)+(z-4, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0 上页
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程. 设M( x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB | , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x − 1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6 y + 2z − 7 = 0. 解