第二节定积分的性质 中值定理 基本内容 四二、小结思考题
、基本内容 对定积分的补充规定: (1)当a=b时,「f(x)dx=0; (2)当4>b时,J。f(x)=-f(x) 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小 上页
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x d x ； （2） 当a b 时 ， = − a b b a f ( x )dx f ( x )dx . 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容
b 性质1f(x)±8(x)=f(x)士g(x)d b 证1f(x)±g(x)ax =lim∑If(5)±g(5)Ax i=1 im∑f(51)Ax±im∑g(9)Ax i=1 i=1 b =」f(x)dx±g(x)dx (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 王页下
证 b a [ f (x) g(x)]d x i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f ( x)dx ( ) . b a g x d x b a [ f ( x ) g( x )]dx = b a f ( x )dx b a g( x )dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1
上性质2「”6(x)dx=kf(x)d(k为常数 证6f(x)x=im∑4(5,)A →0 =Im∑∫(9Ax1=kim∑f(41)Ax1 →0 i=1 →0 i=1 b kf(x)dx 上页
= b a b a k f (x)d x k f (x)d x (k为常数). 证 b a kf ( x)dx i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x d x 性质2
性质3假设a<c<b f(x)=(x)+了.f(x) 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<C, ∫∫(x<(xx+f(x)dx 则∫f(x)dx=f(xx-(x)dx b =J∫(x)dx+ f∫(x)dx C (定积分对于积分区间具有可加性) 上页
b a f ( x )dx = + b c c a f ( x)dx f ( x)dx . 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f ( x)dx = + c b b a f (x)d x f (x)d x b a f ( x)dx = − c b c a f (x)d x f (x)d x ( ) ( ) . = + b c c a f x d x f x d x （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a c b