第三节微积分基本公式 巴一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 四、小结思考题
生一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度=v(t)是时 间间隔[T1,T2l上的一个连续函数,且v(1)≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程 T 变速直线运动中路程为「v()lt 另一方面这段路程可表示为s(T2)-s(T ∫v(o)=()(T其中()=v(C) 上页
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t) 是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其 中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b上连续,并且投 为a,b上的一点,考察定积分 ∫f(x)dx=Jf()dt 如果上限在区间a,b上任意变动,则对于 压t在个成定Q定图纷有一个对速他,所以 王记@(x)=()积分上限函数 上页
设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，并且设x 为[a, b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t d t 积分上限函数 如果上限x 在区间[a,b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它 在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 王定理1如果(x)在ab上连续,则积分上限的函 数(x)=f()在a,b上具有导数,且它的导 数是(x) f(tdt=∫(x)(a≤xsb) x+△ 证o(x+△x)= f(tdt 中△=(x+△x)-①(x) x+△ , f(tMdt-J, f(ot of a xx+Axb x 上页 圆
a b x y o 定理１ 如 果f ( x) 在[a, b] 上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a, b] 上具有导数，且它的导 数 是 ( ) f (t)dt f ( x ) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = ( x + x) − ( x) f t d t f t d t x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
∫(t)dt+ f(tMt-Cf(t)t x+△v f∫(t)d, x 由积分中值定理得 Φ(x): O|axEx+△xbx △Φ=∫(4△x5∈x,x+△xl 工工工 △Φ △Φ =f(5), im f(s △x △x→>0△x△x>0 △x→>0,5→>xΦ(x)=f(x 上页
f t d t f t d t f t d t x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f()x [ x, x + x], x→0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = ( x) = f ( x). a b x y o x + x (x) x