第四节几种特殊类型函数的积分 巴一、有理函数的积分 四二、三角函数有理式的积分 巴三、简单无理函数的积分 四、小结思考题
生一有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x) n ax+ax n-1 …+an-1x+a Q(x)b0x+bx"、…+b、如m 工工工 其中m、n都是非负整数;a,a1 l9·· 及 bn,b1,…,b灬都是实数,并量 0≠0,b0≠0 上页
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其 中m 、n 都是非负整数； n a , a , , a 0 1 及 m b ,b , ,b 0 1 都是实数，并且 0 a0 ， 0 b0 . 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式 c(1) n<m,这有理函数是真分式 王(2)m≥m,这有理函数是假分式 利用多项式除法,假分式可以化成一个 午多项式和一个真分式之和 工工工 例 x+x十 x十 x2+1 x2+1 c难点将有理函数化为部分分式之和 上页
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
上有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 (x-) (x-0)+…+了 其中A1,A2,…,A都是常数 上特殊地:k=1,分解厉为、A; x一a 上页
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 (x+m+y×M2x+N2+“1)xt+M M,x+NI M k (x+ px+q -1 x t pxtq 工工工 其中M;,N都是常数i=12,…,k) 上特殊地:k=1,分解后为Ax+N x t px t q 上页
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x p x q M x N x p x q M x N x p x q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k) . 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x p x q Mx N + + +