第五节定积分的分部积分法 四一、分部积分公式 二、小结思考题
庄一、分部积分公式 设函数(x)、p(x)在区间a,b]上具有连续 导数,则有wh=[m]-」Jwtm 定积分的分部积分公式 推导(m)=u'v+my,∫(ap)x = uv 9 b b 工工 Lwe=Jn'vx+∫uptx, b b b ∫b=[m1- vdu 上页
设函数u( x) 、v( x ) 在区间a , b 上具有连续 导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu . 定积分的分部积分公式 推导 (uv ) = uv + uv , ( ) , b a b a uv d x uv = , = + b a b a b uv a u vd x uv d x . = − b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式
例1计算n arcsin d 解令m= arcsinx,h=在, 则du= dx y= 9 rax 「 arcsin xdx=[ xaresin x].-f 1 十 2620、1-x 2(1-x2) T +|1-x2 12 122 上页
例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x d x d u − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1 − x 1. 2 3 12 = + − 则
xdx 例2计算 1+cos 2x 解:1+c0s2x=2c032x, xdx 4 x d tan x Jo 1+cos 2x Jo 2 cos2x Jo 2 CLx tan x Io tan ro dx 2 2J0 -LIn sec x i-it In 2 82 84 上页
例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2 cos x xdx d ( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 ln sec 2 1 8 − = x . 4 ln 2 8 − =
例3计算∫ In( 1+x) (2+x)2 解 1ln(1+x) dx=- In(1+x)d 0(2+x) 0 2+x I(1+x)7,rl1 2+x」0 0 2++q(1+x In 2 十 3 2+x1+ 1+x2+x In 2 +[n(1+x)-ln(2+x)l=,ln2-ln3 3 3 上页
例3 计算 解 . (2 ) ln( 1 ) 1 0 2 + + dx x x + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) d x x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln( 1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = −