第四节平面曲线的弧长 四一、平面曲线弧长的概念 巴二、直角坐标情形 巴三、参数方程情形 巴四、极坐标情形 巴五、小结思考题
-平面曲线孤长的概念 设A、B是曲线弧上的两 M 个端点,在弧上插入分点M B=M A=M 0915 ig M=B n-19 工工工 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|MM1|的极限存在,则称此极限为 曲线弧的弧长 上页
o x y A = M 0 M1 B = M n M 2 设 M n−1 A 、B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i M i M i 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB 的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
二、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x (a≤x≤b),其中f(x) 在a,b1上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+dx, 工工工 xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长dx)2+(y)2=1+y2h 王弧长元素b=1+y弧长-广+y么 上页 圆
设曲线弧为y = f ( x) (a x b)，其中f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ， 在[a,b] 上任取小区间[ x, x + d x]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y d x b a = + 二、直角坐标情形
例1计算曲线y=x2上相应丛到的一段 3 弧的长度. y 解y=x2, ds= 1+(x'),dx=v1+ xdx, 所求弧长为 X 王“-+x3+b-+n 上页
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于ax 从b 到 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1 + xd x, 所求弧长为 s xdx b a = 1 + [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线=nsin66的弧长0≤x≤mT) 解y=n/sinx=in3 nn n s=、+y2dk nTC 1+sin-dx 0 n x=ntc兀 1+sint ndt 2 =n SIn +I cOS 0 2+2sin cost 22 =nl sin+ cos dt =4n. 0 2 2 上页
例 2 计算曲线 y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n) . 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 d x n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n