第四节定积分的换元法 、换元公式 小结思考题
、换元公式 定理假设 (1)f(x)在[a,b上连续; (2)函数x=9(0)在a,上是单值的且有连续 导数 (3)当在区间[a,月上变化时,x=g(t)的值 A在a,b上变化,且q(a)=a、q(B)=b, 王则有(=-/opow 上页
定理 假 设 （1） f ( x) 在[a, b]上连续； （2）函数 x = (t) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[ , ] 上变化时， x = (t)的 值 在[a, b]上变化，且 ( ) = a 、 ( ) = b ， 则 有 f x d x f t t d t b a = ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式
证设F(x)是f(x)的一个原函数, ∫∫(xMx=F(b)-F(a ∵Φ(t)=Fφ(t), de dx d(t)= =f(x)(t)=∫|@(t)q(t dx dt ①(t)是∫|q(t)q'(t)的一个原函数 ∫flp()(t=Φ(β)-(a, 上页
证 设F(x) 是f (x) 的一个原函数， f ( x)d x F (b) F (a), b a = − (t) = F[(t)], dt d x d x dF (t) = = f (x)(t)= f[(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t d t (t ) 是 f [ (t)] (t) 的一个原函数
q(a)=a、q(B)=b, ①(B)-Φ(a)=F|q(B)-F|q(a =F(b)-F(a), f(xdx=F(b)-F(a=d(B)-(a =f()(u 注意当a>B时,换元公式仍成立 上页
( ) = a 、 ( ) = b , ( ) − () = F[( )] − F[()] = F(b) − F(a), f ( x)d x F(b) F(a) b a = − = ()−() f[ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意 (1)用x=q()把变量换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出∫|φ()φ'(t)的一个原函数(t)后,不 必象计算不定积分那样再要()变换成原 变量x的函数,而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了 上页
应用换元公式时应注意: （1） 求 出 f [ (t)] (t) 的一个原函数(t) 后，不 必象计算不定积分那样再要把(t) 变换成原 变 量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t) 然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变