1.4克拉默法则 ·25· a1.a1r1ba1m.aa a2u.a21ba21.a2n =D; aa.aw1b。ajH.am 即 x,D=D,(j=1,2,.,n). (1.11) 当D≠0时，得(1.11)式的解 ==12. 由于(1.11)式是由方程组(1.5)的系数行列式经行列式的性质运算而得，故 方程组(1.5)的解一定是(1.11)式的解，现在(1.11)式仅有一个解(1.10)，故方程 组(1.5)如果有解，就只能是解(1.10). 下面验证(1.10)式一定是方程组(1.5)的解.将(1.10)式代人方程组 (1.5)中第：个方程的左边并化简 a1x1十a2x2+.十anx. =an号+a:号++a号 =DaiD+aD,+.+anD.) =[aa(bAn+.+b.Ai)+ae(bAg+.+bAe) +.+a.(bA1m+.+bnAm)] =[bi(aaAn+.十aAn)+.+6,(auAa+.+aA) 十.+b,(anAn+.十anAm)门 =D0+.+0+bD+0+.+0)= 这说明(1.10)式是方程组(1.5)的解。 例1解线性方程组 x1+2x2-x3十3x4=2, 2x1-x2+3x-2x4=7, 3x2-x+x4=6, x1-x2+x3十4x4=-4
·26 第1章n阶行列式 解 1 2 3 112 -1 3 D= 2-1 3 -2 n-2n 0-5 -8 0 3 -1 1 n-n 0 3 -1 1 1-1 1 0 -32 -55 -8 19-3-8 3 -1 1 0-30 c2十c 0 0 -3 2 1 -6 3 1 =一 19 -3 -63 =-39≠0 故方程组有唯一解.又 2 2 -1 3 7 -1 3 D1= -2 3 =-39 6 -4-11 4 1 2 -1 3 2 7 3 -2 D2= 06-11 117, 1 -41 4 12 2 3 -1 7 —2 D3= =-78 036 1 1 -1-4 4 12 -12 D4= 2-13 =39, 03-16 1 -11 -4 所以方程组的解为 .D2 =1,=号=3 -2,4-号=-1 例2解线性方程组 ar1+ar2十arg十ba4=a4 ax1十ax2十br3十ar4=aa, ar+b:+ars +ars=a:, br1+a2十ar3十ax4=a1
1.4克拉默法则 ·27· 这里a≠b,3a+b≠0. aaa b 3a+b aa b 解D= aa b a ctatotes 3a+b a b a a b aa 3a+bb aa b aaa 3a+b aa al 1 aa b 11 a a b 0 =(3a+b) 1 a b a 0 b-a a-b 1 b aa 1=(3a+b) o b-a o a-b I aaa 0 0 0 a-b =(3a+b)(b-a)3. 由已知a≠b,3a十b≠0，则D≠0，所以方程组有唯一解. as aa b a 3a+b 3a+b 3a+b D= as a b antntntn a ar b aa az 6 a aaaa a 之a 003a+b 1 a 03a+b 62=c4 0 b-a a 按c2展开 (a-b) as b-a a az b-a 0 0 a ay 0 0 a a =a-braa+b》-2a 同理可得 D2=(a-b)2(az(3a+b)-aa), Ds=(a-b)(as(3a+b)-a>a), D.-(a-b)"(an(3a+b)-aa). 于是，方程组的解 fi= a,(3a+b)-a∑a D= (3a+b)(b-a) ,i=1,2,3,4
·28 第1章n阶行列式 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个数相等，且系数行列式不为 零的线性方程组，它的主要优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常数项 之间的关系式，因此具有重要的理论价值， 当方程组(1.5)的右端常数项，.，b,不全为零时，称方程组(1.5)为非齐次 线性方程组.当b1,.,b.全为零时，方程组 a11x1+a12x2+.十a1mxm=0, a21x十a2x2十.十a2mxm=0, (1.12) am1x十a2x2十.十amxn=0 称为齐次线性方程组.显然，齐次线性方程组一定有解，1==.=x,=0,即 为方程组(1.12)的解，这个解叫做方程组(1.12)的零解. 对于齐次线性方程组(1.12)，根据克拉默法则得下面推论. 推论如果齐次线性方程组(1.12)的系数行列式不等于零，则(1.12)只有 零解 换言之，如果齐次线性方程组(1.12)有非零解，则其系数行列式必为零.反 之，如果齐次线性方程组(1.12)的系数行列式为零，则齐次线性方程组(1.12)必 有非零解.于是有下面定理，这将在第2章中给予证明. 定理1.4.2齐次线性方程组(1.12)有非零解的充要条件是(1.12)的系数 行列式等于零 例3问λ取何值时，齐次线性方程组 「(1-入)x1一2x2+4x1=0, 2x1+(3-A)x2+x3=0, 十x2+(1-A)x=0 有非零解？ 解 1-241 D= 23-λ1 =(3-)(1-2), 1 11- 由D=0得A=0,2或3. 不难验证，当入=0,2或3时，齐次线性方程组确有非零解。 习题1 1.利用对角线法则计算三阶行列式 201 x y x+y (1)1-4-1: (2) y x+y x -183 x+y x y
习题1 ·29· 111 (3)a b c a2b22 2.写出下列行列式中元素a,a1,a的余子式和代数余子式. a1a12a3a14 a11a12a13 (1)an az azi (2) an anan ax as as ass anan ass au a1a2a43a44 3.用行列式定义计算行列式. 2-110 1-121 (1)03-1: 1 100 (2) -1212 -22-4 3 00-1 a1a12000 0-100 324 1 a21a2000 (3) 25 11 (4)atag100 04 -13 a1a42010 a48a4001 4.证明 ar+yay+b加az+b z y z (1)a+az+ ax十y =(a3+6)yx ax+br ar+by ay+be z x y 111 (2)ab =(a+b+c)(a-b)(a-c)(c-b): a bc x-2 x-1 x-2x-3 2x-22x-12x-22x-3 (3) =x(5x-5): 3x-33x-24x-53x-5 4x 4x-35x-74x-3 a11 . 1 0 (4) 1a10. 100.an