§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标
§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标
一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系， 1.定义2.3.1对于向量a%1,2,am和a,若存在m 个数21,22，.，2m,使得： a=1a%1+22+.+九mam 则称是，2，Cm的线性组合，1,2，.，m称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组，必2，am线性表示 说明：()零向量是任何一组向量组的线性组合
一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得： = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m线性表示
例1设n维向量 61=(1,0,0) 62=(0,1,.,0) En=(0,0,1) 0=(41,42,4n)是任意一个n维向量，由于 =(41,42,.,an)=a181+a2E2+a383+.+anen 通常称61，c2,.,￡n为n维单位坐标向量组。 (2)任一n维向量a可由维单位坐标向量组61,2，.，6m 线性表示出来
1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n 例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n 为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一 维向量 可由维单位坐标向量组 n n n n n a a a a a a a 1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )
2.向量a能否由向量组心1，.，am线性表出可转化 为线性方程组有没有解的问题. x a+x2a2+.+x an=B Gj %= j=l,2.n a水+42x2++amXm=b a+ax+.+a,x=b (*) B= amx+anx++amn =bm
(*) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 n n x x x 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a 1 2 m b b b . 2. , , 1 为线性方程组有没有解 的问题 向量能否由向量组 m线性表出可转化
(①)B可由向量组1，.0，线性表示一线性方程组(*) 有解 (2)B不能由向量1,2.以n线性表示一线性方程组(*) 无解 3.一般地，B与a1,2,.,um的关系为下列三种情况之一 (I)B河由4，.，&m线性表示，且表示法唯一。 (2)B可由4，.，anm线性表示，但表示法不唯一。 (3)B不能由a,.,n线性表示
(3)不能由1，, m线性表示。 (2)可由1，, m线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1，, m线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 , 2 ,, m的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组 n线性表示 线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量 n线性表示 线性方程组