·20· 第1章n阶行列式 -a 0 0 1 解 由于D,h+n+n+n+n -11-a a 0 0 0 一1 1a a 0 0 0 -1 1-a 0 0 0 -1 1 a -11-a a 01 0 =-aD4十 -11-aa 0 0-11-a 0 0 0 -1 =1-aD4, 所以 D5=1-aD4=1-a(1-aD3)=1-a+a2(1-aD2) =1-a+a2-a1-aa -11-a =1-a+a2-a3+a4-a5 阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外，有些问题需要递推 公式或利用数学归纳法解决。 例8计算行列式 xaa.a D.= axa.a a aa.x 解行列式D。的特点是每一行的n个元素之和相等，均为x十(n一1)a.因 此将行列式D的第二列、第三列、·、第n列都加到第一列上，再从第一列中提取公 因子x十(n一1)a,则有 1aa.aa a .aa D.=[x+(n-1)a] 1 a x a 1 . a x 1 a a . a 0 z-a 0 . 0 0 n-n 0 a=23,.m[x+(n-1)a]: 0 00.0 x-a 0 0 0 0. 0 0 x-a
1,3n阶行列式的计算 ·21· x-a 0.0 0 0 0 =[x+(n-1)a] x-a.0 0 0.0x-a =(x-a)-1[x+(n-1)a]. 例9计算行列式 |a0.00.0 b 0 a .0 0. 0 00. a b . 0 D= 0 00 0 0 0 .00. .0 0 0 d 解将D2按第一行展开 0 0 b 0 00. a 0 0 D=a00 d . 0 0 c0.00.d0 00.00.0d |0a. 00 0 0 0 . a b . 0 +b(-1)2+100 . c d . 0 0 0c.00.0 c0.00.00 =ad(-1)2-+-D22十bc(-1)21(-1)a-D2n2 =(ad-be), 即 D=(ad-be)Dxr1). 所以 Da=(ad-bc)D2m1)=(ad-bc)2D22)=
·22 第1章n阶行列式 -(ad-be)D.-(ad-bea-(ad-be). c d 例10计算行列式 320.00 132.00 D,=::: 000.32 000.13 解将D,按第一列展开，得 |320.00200.0 0 132.00 132. 0 0 D.=3::: 000.32 000. 3 000·13 000.1 3 |320.00 32.00 =3D.-1-2::: 000.32 000.13 =3D.1-2D-2 即 D.=3D1-2D2. 由此递推公式得 D.-D-1=2(D1-D2)=2(D2-D3)= =a-w=2-2 所以 D.=2+D-1=2+(21+D2)=. =2"+21+.+22+D =2"+21+.+22+3 =2m+2m1+.+22+2+1=21-1. 例I1证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1.4克拉默法则 ·23· 1 1 .1 D.= Π(x,一x), xx1.z 其中记号“Ⅱ”表示(x一x,)的全体同类因子的乘积 证 用数学归纳法.因为 11 D:=x =x2-x1=Π(x-x,), 所以当n=2时结论成立.假设对n一1阶范德蒙德行列式结论成立，下面证明对n 阶范德蒙德行列式结论也成立. 为此，设法把D。降阶，从第n行开始，后行减去前行的x1倍，得 1 1 0 D.=0x2(x2-x1).x.(xn-x1) 0x2(x2-x1).x2(xm-x1) 按第一列展开，并分别提出每一列的公因子(x一无1)，得 11.1 D.=(-)-)(x-): x2xg2.x8 上式右端的行列式是n一1阶范德蒙德行列式，由归纳假设得 D,=(x2-x1)(x-x1).(x.-x1)Π(x,-x) =Π(x-x) m2>21 1.4克拉默法则 前面我们研究了n阶行列式的定义、定理、性质及行列式的计算.像1.1节所 讨论的用二阶、三阶行列式表示二元、三元线性方程组的解一样，现在我们就利用 n阶行列式求解n元线性方程组. 对(1.5)式表示的n元线性方程组
·24 第1章n阶行列式 ax1十a12x2十.十a1nx。=b, a21x1十a22x2十.十a2nxn=b 。ee0ee al十aex十.十amx=b 其未知量的系数构成的行列式 ala.a D= alad.an 称为方程组(1.5)的系数行列式. 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1.5)的系数行列式D≠0，则方 程组(1.5)有唯一的解，且 (1.10) 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b,.,b,代替后所得到的 n阶行列式，即 a1.a1月6a1+1.an D,= (j=1,2,.,n. al.a6a.a 证按通常的方式，先从方程(1.5)推出(1.10)式.对于方程(1.5)中未知量 x(j=1,2,.,n）,由 a1a2.a1 an xjav.am a21a2.a2n xD=: a21.xa2y.a2w anl an2.am aljag.am a11. a21 . G=1,.j-1,j+1.,n) a