1.2n阶行列式的性质 ·15· 性质1.2.5是简化行列式的基本方法，若用数k乘第j行（列）加到第i行（列） 上，简记为，十r,(c4十c,). 由定理1.2.1和上述性质，可推出下面的定理 定理1.2.2行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余 子式的乘积之和等于零，即 a1A1+a2A2+.+anA,m=0(i≠j), 或 a1Ay十a2A2y+.+amAw=0(i≠j) 证设 a11a12a1m aa2.an D= a1a2. aat an2.am 将D按第j行展开，有 D=a1A1+azA2+.+aAjn 在上式中以aa代换ah(k=1,2,.,n),当i≠j时，则由性质1.2.2推论知D= 0,于是 aaAy1十aaA2+.+amA,m=0(i≠j) 同理可证 a1Ay十a2A2+.+amA。=0(i≠j). 综合定理1.2.1和定理1.2.2，对于代数余子式有如下重要结论 D8. 或 ∑asA与=D8 其中 1,i=j, =0, (i,j=1,2,n). i≠j |213-5 4231 例1设D ,求：(1)A1十A2+2A(2)2A1+3A2+ 1102 0210
·16 第1章n阶行列式 4A4,其中AG=1,2,3,4)表示元素ayG=1,2,3,4)的代数余子式. 解(1)由于A1+A2+2A4=A1+A2+0·Ag+2Au,因此上式中 A,(G=1,2,3,4)的系数1,1,0,2，恰好为行列式D的第三行元素，根据定理1.2.2 A41+A2+2A44=0: (2)2A1+3A2+4A4=2A1+2A2+4A4+A2 =2(A1+A2+2A4)+A2 23-5 =A2=(-1)42431=5. 102 1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列 式的方法. 例1计算行列式 12-13 D= 23-12 -111 01-21 12-13 112-13 D r-2n 0 -11-4 0一114 -11 1 0 0303 0 1 -21 01-2 -11 -4 -11 一3 3 0 3 3 00 1 -20 1 -21 1 -20 =18. 例2计算行列式 a b d a atb atb+c atb+c+d D= a 2a+b 3a+26+c 4a+36+2c+d la 3a+b 6a+36+c 10a+66+3c+d
1.3#阶行列式的计算 ·17。 保 a b c d r-n Dnn o a atb atb+c a atb a+b+c n-n 0 a 2a+b 3a+2b+c =aa 2a+b 3a+2b+0 0 a 3a+b 6a+3b+c la 3a+b 6a+3b+c aa+b a+b+c n-n 0 2a+b a 2a+b =a2 =a n-n a 3a+b 0 3a+b 以上两例都是首先通过性质1.2.5将行列式某一行（列）只保留一个非零元 素，然后利用定理1.2.1的推论降阶计算行列式的值，这是计算行列式常用方法 之一 例3计算行列式 4 1 3 -1 D= -2-6 5 3 2 -1 0 3 2 解 1 2-1 0 12 -10 -2-65 3 0 -2 3 3 4 1 3 r4-3r 0 -7 7 -1 3 5 2 4 -1 5 4 1 2 -1 0 1 2 -1 0 -1 5 4 n-7r 0 -1 5 4 0 -7 7 -1-2n 0 -28 -29 0-2 3 /0 0 -7 -5 112 一1 0 |12 -1 0 0-1 4 n-4n 0-1 5 00 -7 -5 0 0 -7 -5 00 -28-29 0 0 0 =-1×(-1)×(-7)×(-9)=63. 例3是利用行列式的性质1.2.2、1.2.5将行列式主对角线下方的元素全化为 零（即化为上三角行列式），行列式的值为主对角线上元素的连乘积由于化简过程 具有程序化，因此工程技术上，常用计算机编制程序计算高阶行列式的值
·18 第1章n阶行列式 x31 1-x1-y1-x 例4设y01=1,求D= 413 z21 1 11 解 111 一x一y-z D=413+413 111111 一x一y一 x y z 413 n-n-302 111 111 x31 y01= -1 z21 例5设多项式 |112 3 12-x22 3 f(x)= 31 /2 3 19-x 试求f(x)=0的根， 解解法 1 2 3 12-x22 3 f(x)= 31 5 3 19-x2 00 0 二 11-x20 0 c4-30 2 1 -3-1 2 1 -33-x2 0 0 0 4-31 1-x2 0 0 2 1 -3 0 2 1 -34-x2 =-3(1-x2)(4-x2), 由f(x)=0,即 -3(1-x2)(4-x2)=0
1.3n阶行列式的计算 ·19· 求得f(x)=0的根为x1=-1,x2=1,x3=一2，x4=2. 解法二由性质1.2.2推论3知，当2-x2=1或9-x2=5时，f(x)=0. 故x1=一1，x2=1,x3=一2，x4=2为f(x)=0的根.由于f(x)为x的4次多 项式，因此f(x)=0只有4个根 例6计算行列式 1+x 1 1 1 1 1-x1 1 D= 1 11+y1 1 1 11-y 解由性质1.2.4，得 111 1x1 1 11-x1 01-x 1 1 D= 11+y 1 011+y1 11 1 1-y 01 11-y 1111 |1-x11 0-x00 +x11+y1 00y0 1 11-y 00-y =xy2+x11+y (111-y 0 111 1+y1 y+x0y0厂11- 00-y =y2+x(-y2+xy2)=x2y2. 例7计算行列式 I-a a 0 0 0 -11-aa 0 0 D5= 0 -11-aa 0 0 0 -11-a a 0 0 0 -1 1