1.1n阶行列式的概念 ·5· 例2求下列行列式的值： a100b 2-10 (1)-113；(2) az bz 235 0ba30 b,00a4 2-10 解1}3=2x-1+-Dx113到 35 25 12 35 +0×(-1D厂11 23 =2×(5-9)+(-5-6)=-19. a100b (2) 0a2b0 06ag0 =a×(-1)a0+bX(-1)"06a 00a4 b00 b00a4 0a4 xDa0什xD80门 =arazasa-aibab3as-azbibas+bbab3b =(a1a4-bb4)(a2a3-b2b). 例3用行列式的定义计算 a10 .0 a1aa.0 D= 这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当i<j时a=0(i,j=1,2,.,n) 解由行列式的定义，得 D=aiA1+0A2+.+0An A:是一个n一1阶下三角行列式，由定义 a30.0 A=aaa.0 aaat.am
·6· 第1章n阶行列式 依次类推，不难求出 D=anan"am 即下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积 作为下三角行列式的特例，主对角行列式 入10.0 02.0 =12-入m 00.λ. 例4证明 00.0a D= 00.a2w1a2a am an2·an-lam =(-1)a12-1al 证由行列式的定义 0.0 a2r-1 D=(-1)+"a 0 .a32 a3ml ani.am-2amr-1 10.0 a3w-2 0 =（-1)1(-1)rwa.a2 a4-3a4m-2 =.=(-1)1(-1)-.(-1)a.a2n1.aa =(-1)ya,a2-1.a =(-1)9a1a2n1al 特别地，次对角行列式 0.0λ1 0.120 =(（-1)2.以 λ.00
1.1n阶行列式的概念 ·7 例5(1)证明 au a12 000 a1a2000 = lan anl' (2)设 a11.a1w0.0 aa0 0 an bn. bin D= D1= ,D2= b .b cl.ctbn1.bm 证明D=D1·D2. 证(1)由行列式定义 an 000 a000 D=atA1十a2A2=at +(-1)2a b cbba |bb2b =(anan-anan)ba bn ba a21a22 (2)对D,的阶数使用数学归纳法.当D1阶数为1时，由行列式的定义知 D=D1·D2. 假设当D,的阶数为k一1时，结论成立.当D,的阶数为k时，由行列式的定义 .a240.0 D= a组.a1aH.aw0. 0 c1.G1r1qHH.c4b11.b Caj-1 Cam.ca ba.bn
·8 第1章n阶行列式 设D1中元素a,(j=1,2,·,k)的余子式为M,代数余子式为Ay,由归纳假设 a2a2.a0.0 a .a4Ha4H.a0.0 =MD2. .qH1GH.ctb.bm 所以 D(-1MD:-D.-D.D. 行列式的定义表明，n阶行列式是通过n个”一1阶行列式定义的，而每一个 n一1阶行列式又可用n一1个n一2阶行列式来表示.如此进行下去，最后可将n 阶行列式表示成！项的代数和.为给出行列式这一形式的完全表达式，先介绍全 排列与逆序数的概念」 把n个不同的元素排成一列，叫做n个元素的全排列.如n个自然数1,2，·，n 组成的全排列有！种.在这！个排列中，规定各元素间有一个标准次序（一般按从 小到大排列的次序为标准次序)，于是，在任一排列p1p2“p。中，当某两个数的先 后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数，记作x(p1p2.pn),即 x(p1p“p.)=(p2前面比p2大的数的个数)十（p前面比p大的数的个数) 十.十(p,前面比p。大的数的个数) 如果x(pp2.p)是偶数，称p1p.p,为偶排列：如果x(p1p2p,)是奇数 称p1p2.p,为奇排列. 例6计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性： (1)524179386: (2)n(n-1).321. 解(1)x(524179386)=1+1+3+0+0+4+1+3=13,所给排列为奇 排列. 2raa-10.20=1+2++-1=2 当n=,十1时，2卫为偶数，所给排列为偶排列：当m=十2。 4软十3时，n,卫为奇数，所给排列为奇排列
1.1n阶行列式的概念 ·9· 定理1.1.1n阶行列式可表示为如下形式 a1a12.a1n D= a21a22.a2a =∑(-1)nA,〉a1Aa2Aa吨， 其中，九龙九为自然数1,2，.，n的一个排列，∑表示对n个自然数1,2，.，n所有 AA 排列求和。 证用数学归纳法.当n=1时，定理显然成立 假设定理对n一1阶行列式成立，对于n阶行列式，由行列式定义 D=月aAy=-1DHaM, 由于M,是n一1阶行列式，根据归纳假设，得 M,=∑(-1)h'a2ha., P2""Pn 其中2.p是1,2，.，j一1，j+1,n的一个排列.于是 D=>(-1)Htiay (-1)%h-A azna. 1-1 = ∑(-1)H(-1)-,'a1,a2nae 又因 x(pp2.pn)=x(pp.pn)十p1一1， 而 (-1)A+)=(-1)A" 记p为j,得 D=∑(-1)ahan.a. 定理1.1.1说明n阶行列式是n!项的代数和，每一项是位于不同行、不同列的 ”个元素的乘积，行标按从小到大的标准次序排列，若列标为偶排列，该项前面取 正号：列标为奇排列，该项前面取负号. 例7在六阶行列式中，项aga1a2as6a1as应带什么符号？ 解对换项中元素的位置，使行标按从小到大的标准次序排列，即 列标所构成的排列为431265. x(431265)=1+2+2+0+1=6