·i 目 录 5.5二次型及其标准形.137 5.6正定二次型.148 习题5.151 第6章线性空间与线性变换.156 6.1线性空间的概念.156 6.2基、坐标及其变换.158 6.3线性变换及其矩阵.162 习题6.168 第7章矩阵理论与方法的应用.17门 7.1矩阵方法在微积分中的应用.171 7.2投入产出数学模型.180 习题7.193 部分习题参考答案.195 附录全国硕士研究生入学考试线性代数试题选.208
第1章n阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来 求解一类特殊线性方程组的克拉默法则. 1.1n阶行列式的概念 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 |a1十a12x2=b, (1.10 a21十a2x2=b2. 用加减消元法得 (a1ia22-a12a21）x1=ba22-a1zb, (auan-anan)x:=aubz-ban, 当a1iaa一aa1≠0时，方程组(1.1)有唯一解 -二8脸，=的 为了进一步讨论方程组的解与未知量的系数和常数项之间的关系，引人下面 记号： an anz 并称之为二阶行列式，它表示数值a1a2一a2a2:,即 an an=andn-andn. aa 行列式中横排的叫做行，纵排的叫做列，数a。(i,j=1,2)称为行列式的元 素，i为行标，j为列标 由上述定义得 bi au=biaz-aiba,nanb-bnam. 若记 D=anan n=a=
2 第1章n阶行列式 则方程组(1.1)的解可用二阶行列式表示为 =，=号D≠0. 对于三元一次方程组 〔a1十a12x2十a13x3=b1, a21x1十a2x2十a2ax3=b, (1.2) a31x1十a2x2十aa3x=b. 如果满足一定条件，则其解也可通过加减消元法求出，但解的表达式较为复杂，难 于看出解与系数、常数项之间的规律性联系.为寻求这种联系，下面引人三阶行列 式的概念. 我们称记号 a11a12a13 anan az 为三阶行列式，它由三行三列共9个元素组成，表示数值 a1a22a33十a13a21a32十a12a23a31一a13a22a31-a1a23a2-a12a21a3, (1.3) ananan anan an an as ass =a11a2ag十a13a21a32+a12a23as1-a13a2a1一a11a23a2-a12a21a33. (1.4) 这种方法称为计算行列式的对角线法则。 例1求下列行列式的值： 1-12 a b c (1) 03-1： (2)b c a -22-4 c a b 1-12 解(1) 03-1=1×3×(-4)+0×2×2 -22 -4 +(-1)×(-1)×(-2)-(-2)×3×2 -2×(-1)X1-0×(-1)×(-4) =-12+0-2+12+2-0=0. a b c (2)b c a =acb +bac +bac-c-b-=3abc-c-b-a. c a b
1.1n阶行列式的概念 ·3· 若记 D=anan D=br anan an an an bs an as an b as an an b D2=an b:an laa as2 b3 则容易验证，方程组(1.2)的解可表示为 == (D≠0). 引入了二阶、三阶行列式的概念之后，二元、三元线性方程组的解可以很方便 地由二阶、三阶行列式表示出来，那么对于n元线性方程组 an1+a12x2十.十a1mxn=b, a2x十a2x十.十a2mxm=b2, (1.5) ax十a2十.十amxn=bn 在一定条件下它的解能否有类似的结论？这里首先要解决的问题是定义n阶行列 式.为此，我们观察方程组(1.1)、(1.2)的系数与对应的二阶、三阶行列式的元素 的位置关系，暂且把记号 an an2.ai a2a2.a2n (1.6) anla2am 称为n阶行列式（简记为△(g),它是由n行n列共个元素组成.在明确(1.6） 式的意义之前，我们先来定义n阶行列式中元素a,(i,j=1,2,.,n)的余子式、 代数余子式 定义1.1.1把n阶行列式(1.6)中元素a。所在的第i行和第j列删去后留 下的n一1阶行列式称为元素a,的余子式，记作M,即 Mi= a-11.a-11a-1l.a-1m a4+n.am;-a41jH1.a+Hn 并称
4 第1章n阶行列式 A。=(-1)+wMg (1.7) 为元素a。的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 a11a12a13 an az an, a31a32a33 第一行元素a1,a2,a1的代数余子式分别为 An=(-1)aa an Au=(-1)aa an /a1 an An =(-1)an an a31a32 利用以上结果可将(1.4)式化简为 aa an azs=anAn +anAn+anAis. (1.8) a31a32433 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素a11,a2,a13与所对应的代数余子 式A1,A2,Aa乘积的和.这与(1.4)式的定义是一致的，这种用低阶行列式定义 高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出阶行列式(1.6)的归 纳法定义。 定义1.1.2n阶行列式(1.6)是由n2个元素a,(i,j=1,2,.,n)所决定的 一个数 当n=2时，定义 a1a12 a21a2 =a11a2-a12a21. 假设n一1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式 a11a12.a1n aua22.a2 =a1A+a12A2+.+a1nAn, (1.9) alaam 其中A,(j=1,2,.,n)是n阶行列式中元素a,(j=1,2,.,n)的代数余子式. 显然，对任意自然数n,由此归纳定义可求n阶行列式的值.特别地，当n=1 时，行列式am|=a1,不能与数的绝对值相混滑