《复变函数与积分变换》教学大纲【课程名称】复变函数【英文名称】ComplexFunctionandIntegralTransformation【课程学时】：总学时48学时【课程学分】3分【课程类型】电气，电信等专业本科生专业必修课【先修课程】高等数学【课程说明】课程是高等院校电信等专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。【课程教学内容及要求】（一）教学内容1.复数理解复数的概念。熟悉复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算。理解复数运算的几何意义。理解区域、单连通域、多连通域和复球面等概念。掌握用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。2.解析函数理解复变函数以及映射的概念；了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西一黎曼条件：掌握判别函数解析性的方法：了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法；记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些主要性质。3.复变函数的积分理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质：掌握复变函数积分的一般计算方法：掌握柯西定理及其推论熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分。4.级数了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理：了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒（Taylor）级数；理解罗朗（Laurent)级数的作用，并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数。5.留数理解孤立奇点的概念、分类及判别方法：理解函数在孤立奇点留数的概念（包括无穷原点）：掌握并能熟练应用留数定理：掌握留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算：能用留数来计算3种标准类型的定积分。6，傅里叶（Fourier）变换理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换；了解一函数的概念和性质，记住一函数的傅氏变换：知道傅里叶变换的性质和卷积定理，并进行相关计算。7.拉普拉斯（Laplace）变换理解拉氏变换的概念，注意它与傅氏变换的区别、联系；掌握求拉式变换的方法；了解拉氏变换的性质：了解用留数求拉式逆变换的方法；知道卷积、卷积定理；能熟练应用拉氏变换，求解微分方程或微分方程组。（二）基本要求1、理解下列概念区域，解析，调和函数，复积分，级数，奇点，留数，积分变换。2、掌握下列定理及公式：柯西-黎曼方程，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理，卷积定理。3、熟练运用下列性质与方法：泰勒展开，罗朗展开，奇点分类，留数计算，积分变换性质。（三）学时分配章次授课内容理论学时（包括习题课)5第一章复数与复变函数第二章7解析函数第三章8复变函数的积分8第四章解析函数的级数表示第五章8留数及其应用6第八章傅里叶变换6第九章拉普拉斯变换合计36【本门课程内容的重点、难点】
《复变函数与积分变换》教学大纲 【课程名称】复变函数 【英文名称】Complex Function and Integral Transformation 【课程学时】：总学时48学时 【课程学分】3分 【课程类型】电气，电信等专业本科生专业必修课 【先修课程】高等数学 【课程说明】 课程是高等院校电信等专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积 分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变 换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。 【课程教学内容及要求】 （一）教学内容 1．复数 理解复数的概念。熟悉复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算。理解复数运算的几何意义。理解区 域、单连通域、多连通域和复球面等概念。掌握用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。 2．解析函数 理解复变函数以及映射的概念；了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西－黎曼 条件；掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数， 从而得到解析函数的方法；记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些主要性质。 3．复变函数的积分 理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理及其推论； 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分。 4．级 数 了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理；了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛 圆、收敛半径等概念，掌握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；记住几个主要的初等函数的泰勒展 开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒(Taylor)级数；理解罗朗(Laurent)级数的作用，并能把比较 简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数。 5．留数 理解孤立奇点的概念、分类及判别方法；理解函数在孤立奇点留数的概念（包括无穷原点）；掌握并能熟练应 用留数定理；掌握留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算；能用留数来计算3种标准类型的定积分。 6．傅里叶（Fourier）变换 理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换；了解 —函数的概念和性质，记住—函数的 傅氏变换；知道傅里叶变换的性质和卷积定理，并进行相关计算。 7．拉普拉斯（Laplace）变换 理解拉氏变换的概念，注意它与傅氏变换的区别、联系;掌握求拉式变换的方法;了解拉氏变换的性质；了解用留 数求拉式逆变换的方法；知道卷积、卷积定理；能熟练应用拉氏变换，求解微分方程或微分方程组。 （二）基本要求 1、理解下列概念： 区域，解析，调和函数，复积分，级数，奇点，留数，积分变换。 2、掌握下列定理及公式： 柯西-黎曼方程，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理，卷积定理。 3、熟练运用下列性质与方法： 泰勒展开，罗朗展开，奇点分类，留数计算，积分变换性质。 （三）学时分配 章 次 授课内容 理论学时（包括习题 课） 第一章 复数与复变函数 5 第二章 解析函数 7 第三章 复变函数的积分 8 第四章 解析函数的级数表示 8 第五章 留数及其应用 8 第八章 傅里叶变换 6 第九章 拉普拉斯变换 6 合 计 36 【本门课程内容的重点、难点】
1．复数重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点：用不等式表示区域。2.解析函数重点：函数解析性的判断，掌握和运用柯西一黎曼条件，能从已知的调和函数求其共轭调和函数。难点：能从已知的调和函数求其共轭调和函数。3.复变函数的积分重点：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点：复合闭路定理的运用。4.级数重点：函数展开成泰勒级数：在不同环域内将函数展开成罗朗级数。难点：在不同环域内将函数展开成罗朗级数。5.留数重点：孤立奇点类型的判别：留数的计算及应用留数定理计算复积分与定积分。难点：根据函数的不同特点求留数的方法。6.傅里叶变换重点：傅里叶变换性质与计算。难点：涉及广义函数的傅里叶变换。7．拉普拉斯变换重点：拉普拉斯变换性质与计算；用拉普拉斯变换求解微分方程。难点：涉及广义函数的拉普拉斯变换。【（本课程与其它课程的关系】本课程是高等数学在复数域的推广，高等数学中的重要概念，如导数、积分、级数、微分方程等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。学好高等数学是学好本课程的前提。本课程又是一门重要的基础课，它与工程力学、电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。【本课程的教学建议】1、由于复变函数是实变函数理论的推广，但又产生了质的飞跃，建议在教学和辅导过程中，多采用比较类比的方法，既要指出在概念，计算方面相类似之处，更要指出不同之处。2、适当复习幂级数的有关知识，特别是几何级数的收敛半径，和函数。【实践环节及基本要求】课外练习和作业是复变函数与积分变换课的主要实践活动，作业量视教学内容而定。每次课后，布置3一5个练习题为宜。每一章上一次习题课。【授课教材及主要参考书】1.教材：《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系，高等教育出版社，2004，092.参考书：《复变函数》，西安交大编，高等教育出版社《积分变换》，东南大学编，高等教育出版社.《复变函数与积分变换》，包革军等（哈工大）编，科学出版社《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社，第三版，《复变函数与积分变换典型题分析解集》李建林编，西北工业大学出版社
1． 复数 重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。 难点：用不等式表示区域。 2． 解析函数 重点：函数解析性的判断，掌握和运用柯西－黎曼条件，能从已知的调和函数求其共轭调和函数。 难点：能从已知的调和函数求其共轭调和函数。 3． 复变函数的积分 重点：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。 难点：复合闭路定理的运用。 4． 级数 重点：函数展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成罗朗级数。 难点：在不同环域内将函数展开成罗朗级数。 5．留数 重点：孤立奇点类型的判别；留数的计算及应用留数定理计算复积分与定积分。 难点：根据函数的不同特点求留数的方法。 6． 傅里叶变换 重点：傅里叶变换性质与计算。 难点：涉及广义函数的傅里叶变换。 7． 拉普拉斯变换 重点：拉普拉斯变换性质与计算；用拉普拉斯变换求解微分方程。 难点：涉及广义函数的拉普拉斯变换。 【本课程与其它课程的关系】 本课程是高等数学在复数域的推广，高等数学中的重要概念，如导数、积分、 级数、微分方程等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点及运算方法。学好高等数学是学好本课程的前 提。本课程又是一门重要的基础课，它与工程力学、电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如流体动力 学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。 【本课程的教学建议】1、由于复变函数是实变函数理论的推广，但又产生了质的飞跃，建议在教学和辅导过程中， 多采用比较类比的方法，既要指出在概念，计算方面相类似之处，更要指出不同之处。 2、适当复习幂级数的有关知识，特别是几何级数的收敛半径，和函数。 【实践环节及基本要求】 课外练习和作业是复变函数与积分变换课的主要实践活动，作业量视教学内容而定。每次课后，布置3－5个练习 题为宜。每一章上一次习题课。 【授课教材及主要参考书】 1.教 材： 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系，高等教育出版社，2004,09. 2.参考书： 《复变函数》，西安交大编，高等教育出版社. 《积分变换》，东南大学编，高等教育出版社. 《复变函数与积分变换》，包革军等（哈工大）编，科学出版社. 《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社，第三版. 《复变函数与积分变换典型题分析解集》李建林编，西北工业大学出版社