《复变函数与积分变换》考试大纲适用专业：计算机信息与管理，电气工业工程学时：48/54考试时长：120分钟一、本课程的地位和作用复变函数与积分变换是数学分析（或高等数学）的后继课。它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。它是本科院校理工科专业的重要专业课。它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地研究这类具体问题。积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析：在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。二、本课程的考试目的、目标（1）考试试卷要求尽可能科学、合理、规范：（2）考试尽可能客观地反映学生的学习水平和教师的教学水平；（3）促进学生与学生之间、教师与学生之间相互交流，提高学生学习的积极性及教师的教学水平（4）提高学生的实践操作能力，会在电脑上应用数学软件解决一些实际问题。三、考试试卷涉及内容和基本要求第一章复数与复变函数1.考试涉及内容（1）复数及其四则运算，复平面。（2）复数的模与辐角，复数的三角表示法及乘除运算。（3）复数的乘幂与方根。（4）复数在几何中的应用。（5）复平面上点集的有关概念。*区域、曲线的有关概念，约当定理。（6）复数方程表示曲线以及不等式表示区域。（7）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算。（8）复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实变函数的关系。（9）复变函数的极限的概念及性质。（10）复变函数连续性的概念、运算法则及性质。2.考试基本要求（1）了解引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。（4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。（5）了解引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。（6）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。第二章解析函数1.考试涉及内容（1）复变函数的导数与微分。（2）解析函数的概念与基本性质。（3）Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。（4）解析函数的求导公式与求导法则。（5）复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数（7）初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数，反双曲函数。（8）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。2.考试基本要求（1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别
《复变函数与积分变换》 考试大纲 适用专业： 计算机信息与管理，电气工业工程 学 时： 48/54 考试时长： 120 分钟 一、 本课程的地位和作用 复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。它的许多概念、理论和方法与数学分析有 许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。它 是本科院校理工科专业的重要专业课。它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的 应用，在流体力学、 电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类 场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美 地研究这类具体问题。积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程 技术中都有着广泛的应用。如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还 可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器 时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可 以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺 少的运算工具。 二、本课程的考试目的、目标 （1）考试试卷要求尽可能科学、合理、规范； （2）考试尽可能客观地反映学生的学习水平和教师的教学水平； （3）促进学生与学生之间、教师与学生之间相互交流，提高学生学习的积极性及教师的教学水平 （4）提高学生的实践操作能力，会在电脑上应用数学软件解决一些实际问题。 三、考试试卷涉及内容和基本要求 第一章 复数与复变函数 1．考试涉及内容 （1）复数及其四则运算，复平面。 （2）复数的模与辐角，复数的三角表示法及乘除运算。 （3）复数的乘幂与方根。 （4）复数在几何中的应用。 （5）复平面上点集的有关概念。*区域、曲线的有关概念，约当定理。 （6）复数方程表示曲线以及不等式表示区域。 （7）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算。 （8）复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实变函数的关系。 （9）复变函数的极限的概念及性质。 （10）复变函数连续性的概念、运算法则及性质。 2．考试基本要求 （1）了解引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用； （2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。 （3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。 （4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。 （5）了解引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。 （6）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。 第二章 解析函数 1．考试涉及内容 （1）复变函数的导数与微分。 （2）解析函数的概念与基本性质。 （3）Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。 （4）解析函数的求导公式与求导法则。 （5）复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。 （6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数 （7）初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数，反双曲函数。 （8）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。 2．考试基本要求 （1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区 别
（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微解析的等价刻画，并要求学生能熟练运用Caucly-Riemann方程判定函数的可微性、解析性以及论证解析函数的一些基本性质。（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。（4）牢固掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）的定义、基本性质及其相互关系与内在联系。（5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。（6）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。第三章复变函数的积分1.考试涉及内容（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。（2）单连通区域内的Cauchy积分定理及其推广。（3）不定积分。（4）Cauchy积分公式，最大模原理。（5）解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。（6）Cauchy不等式。Liourille定理。Morera定理。2.考试基本要求（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，积分的多种计算方法以及复变函数积分与二元实变函数的第二型线积分的联系。（2）解析函数的Cauchy积分定理。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理。（3）柯西积分公式和高阶导数分式。（4）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。（5）掌握Cauchy不等式，Liourille定理，了解Morera定理，并会利用这些结论解决一些问题。第四章解析函数的级数表示1.考试涉及内容（1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则。（2）复函数项级数的概念，收敛、一致收敛性的概念及其判别准则。（3）幂级数的收敛状况，特别地在收敛圆周上的收敛状况。（4）收敛圆、收敛半径的求法。（5）解析函数在一点邻域内的泰勒展式。（6）常用初等解析函数的泰勤展式。（7）幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况。（8）双边幂级数的概念，收敛圆环。（9）解析函数的Laurent展式，系数公式，收敛域。2.考试基本要求（1）理解复函数项级数的概念，掌握一致收效性的判别法。（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径。（3）理解解析函数的幂级数定义的等价性。（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。（5）掌握解析函数的零点抓立性定理，解析函数的唯一性定理。（6）解析函数的零点孤立性，内部唯一性。（7）理解双边幂级数的概念。（8）能求出一些较简单的Laurent级数的收敛圆环以及解析函数的Laurent展式。第五章留数及其应用1.考试涉及内容（1）解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特征性质。（2）解析函数在无穷远点的性质。（3）留数的定义。留数定理。（4）留数的计算（含无穷点处的残数的计算）。（5）关于三种类型实积分的计算。（6）辐角原理，儒歇定理。（7）解析函数零点位置的判定。2.考试基本要求（1）掌握解析函数的三种类型奇点的定义，特征以及判别方法。了解解析函数在无穷远点的性质
（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微解析的等价刻画，并要求学生能熟练运用 Caucly-Riemann方程判定函数的可微性、解析性以及论证解析函数的一些基本性质。 （3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。 （4）牢固掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）的定义、基本性质及其 相互关系与内在联系。 （5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。 （6）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。 第三章 复变函数的积分 1．考试涉及内容 （1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。 （2）单连通区域内的Cauchy积分定理及其推广。 （3）不定积分。 （4）Cauchy积分公式，最大模原理。 （5）解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。 （6）Cauchy不等式。Liourille定理。Morera定理。 2．考试基本要求 （1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，积分的多种计算方法以及复变函数积 分与二元实变函数的第二型线积分的联系。 （2）解析函数的Cauchy积分定理。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理。 （3）柯西积分公式和高阶导数分式。 （4）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。 （5）掌握Cauchy不等式，Liourille定理，了解Morera定理，并会利用这些结论解决一些问题。 第四章 解析函数的级数表示 1．考试涉及内容 （1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则。 （2）复函数项级数的概念，收敛、一致收敛性的概念及其判别准则。 （3）幂级数的收敛状况，特别地在收敛圆周上的收敛状况。 （4）收敛圆、收敛半径的求法。 （5）解析函数在一点邻域内的泰勒展式。 （6）常用初等解析函数的泰勒展式。 （7）幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况。 （8）双边幂级数的概念，收敛圆环。 （9）解析函数的Laurent展式，系数公式，收敛域。 2．考试基本要求 （1）理解复函数项级数的概念，掌握一致收效性的判别法。 （2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径。 （3）理解解析函数的幂级数定义的等价性。 （4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。 （5）掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理。 （6）解析函数的零点孤立性，内部唯一性。 （7）理解双边幂级数的概念。 （8）能求出一些较简单的Laurent级数的收敛圆环以及解析函数的Laurent展式。 第五章 留数及其应用 1．考试涉及内容 （1）解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特 征性质。 （2）解析函数在无穷远点的性质。 （3）留数的定义。留数定理。 （4）留数的计算（含无穷点处的残数的计算）。 （5）关于三种类型实积分的计算。 （6）辐角原理，儒歇定理。 （7）解析函数零点位置的判定。 2．考试基本要求 （1）掌握解析函数的三种类型奇点的定义，特征以及判别方法。了解解析函数在无穷远点的性 质
（2）掌握留数的概念，深刻理解残数定理。（3）熟练掌握留数的计算方法（包括在无穷远点的留数）。（4）了解应用留数定理计算实积分的方法（三种），并能计算简单的实积分。（5）了解辐角原理及Rouche定理，并能利用这此结论判定解析函数零点位置。第六章共形映射1.考试涉及内容（1）共形映射的概念，单叶解析函数的映射性质。（2）导数的几何意义。（3）共形映射的基本问题（4）分式线性函数及其映射性质。（5）某些初等函数所构成的保形变换。（6）实例。2.考试基本要求（1）理解导数的模与辐角的几何意义，理解解析变换的特性一一保域性与保角性。（2）理解线性变换的特性。（3）能求一些简单的单连通区域与单位圆或半平面之间的变换。第七章解析函数在平面场的应用1考试涉及内容（1）复势的概念和平面向量场。（2）复势的应用。（3）用共形映射研究平面场。2.考试基本要求（1）了解复势的概念和平面向量场。（2）了解复势的应用。（3）了解用共形映射研究平面场。第八章傅里叶变换1.考试涉及内容（1）傅里叶变换的概念（2）单位冲激函数（3）傅里叶变换的性质2.考试基本要求（1）正确理解傅里叶变换的概念，会求函数的傅里叶变换。（2）知道单位脉冲函数及其傅里叶变换。（3）理解傅里叶变换的性质。（4）会用一些数学软件绘制一些函数的频谱、相位谱、振幅谱等（5）用数学软件和傅里叶积分变换研究一些实际应用例子第九章拉普拉斯变换1.考试涉及内容（1）拉普拉斯变换的概念。（2）拉氏变换的性质（3）拉普拉斯逆变换（4）拉氏变换的应用及综合举例2.考试基本要求（1）知道拉普拉斯变换的概念。了解拉普拉斯变换的性质。（2）会求拉普拉斯逆变换及拉普拉斯变换。（3）了解卷积的概念及卷积定理。（4）了解用拉普拉斯变换求解微分方程的方法。（5）用数学软件和拉普拉斯变换研究一些实际应用例子四、主要教材及参考书教材：《复变函数与积分变换》，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2003参考教材：[1]《复变函数》，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社，1994[21《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987[3]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2003
（2）掌握留数的概念，深刻理解残数定理。 （3）熟练掌握留数的计算方法（包括在无穷远点的留数）。 （4）了解应用留数定理计算实积分的方法（三种），并能计算简单的实积分。 （5）了解辐角原理及Rouche定理，并能利用这此结论判定解析函数零点位置。 第六章 共形映射 1．考试涉及内容 （1）共形映射的概念，单叶解析函数的映射性质。 （2）导数的几何意义。 （3）共形映射的基本问题 （4）分式线性函数及其映射性质。 （5）某些初等函数所构成的保形变换。 （6）实例。 2．考试基本要求 （1）理解导数的模与辐角的几何意义，理解解析变换的特性——保域性与保角性。 （2）理解线性变换的特性。 （3）能求一些简单的单连通区域与单位圆或半平面之间的变换。 第七章 解析函数在平面场的应用 1．考试涉及内容 （1）复势的概念和平面向量场。 （2）复势的应用。 （3）用共形映射研究平面场。 2．考试基本要求 （1）了解复势的概念和平面向量场。 （2）了解复势的应用。 （3）了解用共形映射研究平面场。 第八章 傅里叶变换 1．考试涉及内容 （1）傅里叶变换的概念 （2）单位冲激函数 （3）傅里叶变换的性质 2．考试基本要求 （1）正确理解傅里叶变换的概念，会求函数的傅里叶变换。 （2）知道单位脉冲函数及其傅里叶变换。 （3）理解傅里叶变换的性质。 （4）会用一些数学软件绘制一些函数的频谱、相位谱、振幅谱等 （5）用数学软件和傅里叶积分变换研究一些实际应用例子 第九章 拉普拉斯变换 1． 考试涉及内容 （1）拉普拉斯变换的概念。 （2）拉氏变换的性质 （3）拉普拉斯逆变换 （4）拉氏变换的应用及综合举例 2．考试基本要求 （1）知道拉普拉斯变换的概念。 了解拉普拉斯变换的性质。 （2）会求拉普拉斯逆变换及拉普拉斯变换。 （3）了解卷积的概念及卷积定理。 （4）了解用拉普拉斯变换求解微分方程的方法。 （5）用数学软件和拉普拉斯变换研究一些实际应用例子 四、主要教材及参考书 教材：《复变函数与积分变换》，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2003. 参考教材： [1]《复变函数》，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社，1994. [2]《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987. [3]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，华中科技大学数学系，高等教育出版社， 2003
[4]《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社（第二版），2004[5]】《复变函数与积分变换辅导讲案》，李建林，西北工业大学出版社,2007[6]《复变函数与积分变换全析精解》，李建林,西北工业大学出版社,2005[7]《复变函数与积分变换》（导教,导学,导考)，李建林,西北工业大学出版社(第三版),2006[8]《复变函数论方法》，拉普伦捷夫，沙巴特普，人民教育出版社,1956[10]《复变函数引论》，普里瓦诺夫著，高等教育出版社（第一版），1956.[11]《复变函数教程》，方企勤，北京大学出版社社，1996[12]《新编复变函数题解》，孙清华，赵德修编，华中科技大学出版社，2001
[4]《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社（第二版）,2004. [5]《复变函数与积分变换辅导讲案》, 李建林, 西北工业大学出版社,2007. [6]《复变函数与积分变换全析精解》, 李建林, 西北工业大学出版社,2005. [7]《复变函数与积分变换》(导教,导学,导考)，李建林,西北工业大学出版社(第三版),2006. [8]《复变函数论方法》，拉普伦捷夫，沙巴特普，人民教育出版社,1956. [10]《复变函数引论》，普里瓦诺夫著，高等教育出版社（第一版），1956. [11]《复变函数教程》，方企勤，北京大学出版社社，1996. [12]《新编复变函数题解》，孙清华，赵德修编，华中科技大学出版社，2001