第四章角解析函数的级数表示前两章我们用微分和积分的方法研究了钢析函数的性质，本章我们将用级数的方法研究解析函数的性质，首先讨论复数项级数，然后讨论复变函数项级数，量点是讨论幂级数和由正、负整次幕项组成的洛朗级数，并围绕如何将解析函数展开成幕级数或朗级数这一中心内容进行.这两类级数在解决各种实际问题中有着广泛的应用.它既是研究零点、奇点（特别是极点）的有力工具：也是微分方程中幕级数解法的理论基础.学习本章最好能结合复习《高等数学的级数部分，用对比的方式进行84.1复数项级数$4.1.1复数序列的极限设z（n=1，2，）为一复数列其中十iy，设=riyo为一确定的复数，如果任意给定ε>0，存在自然数N，使当n>Λ时，总有一之<e成立，则称复数序列收敛于复数·或称以之。为极限，记作lim =或→(n→w)如果序列（不收敛，则称（之，发散，或者说它是发散序列定理4.1设2=rn十iyo,z=十iy（n=1,2.）.则limz=2的充分必要条件是：limr,-"..limyu-y..证由不等式
第四章.80.解析备故的级数表示L4nllx2及Iva -zi.即得条件的必要性.而出不等式-≤！+-又可得条件的充分性关于两个实数序列相应项之和、差、积、商所成序列的极限的结果，不难推广到复数序列.$4.1.2复数项级数设（n一12，）为一复数序列，表达式2=++++(4. 1)称为复数项无穷级数.如果它的部分和序列Sn=21+22 +...+2#(n-1,2,3,)有极限limS.=S（有限复数），则称级数是收敛的，S称为级数的和；如果（S1没有极限，就称级数（4.1）为发散的，例4.1当|！<1时，判断级数1+++++.是否收敛？解先作部分和2+12*1S=1+++21.12112一由于|2|<1,所以lim/+1=0,因而[≥/ *+1limlim0,-Z.1于是2+,lim0.2故12+1limS. - limZ*= lim2ock-l-
+82+第四章解析函数的级教表示来，若，收敛，级数||却不一定收敛.我们把，收敛而之i不收敛的级数之，称为是条件收敛的，例4.2划别下列级数的收敛性(3)2.1i21?(2)(1)e1-4发散，所以根据定理4.2即知≥（+）发散(1)由≥解21n（2）显然11+1-1+电电46-821:11+ ij 1 ++只收敛，但是的实部与虚部（两级数）都收敛，故之i发散,因而之条件收敛级数n1含素是收效的正项级数,所以根据定理4.4 知W(3）由于1级数≥是收敛，且为绝对收敛。11484.2复变函数项级数4.2.1复变函数项级数设(f,（z))（n=1,2,)为区域D内的函数,则称2f.(x) = fi(2) + f2(2) + .. + f,(2) + ...(4. 2)
31.2复变羽数须级数83为区域D内的复变函数项级数.该级数前n项的和S() =- f() -f.(2) ++ f()称为级数的部分和。设为区城D内的一点·如果lmS（，）=S（）存在，则称级数（4.2)在处是收敛的.S（2）就是它的和，即/（）-S（）.如果级数在1)内处处收敛，这时，级数（1.2)的和是I)内的-个函数S（z）即f.(2) -S(c).警如，例4.1中的级数1十+十→十在区域|1内收1，也就是说在区域2≤1内1十十敛，且在该区域内的和函数为一"+…+"+…收敛于i下面我们主要研究经常用到的复变函数项级数的简单情形一幂级数和含有正幂项、负幂项的级数，它们与解析函数有着密切的关系，$4.2.2幂级数和实变量的幂级数样，形如C,(—20)"=C +C(-2)+C(-2,) ++C-2)"+.(4.3)的复函数项级数称为幕级数·其中（，（一0，1.2，）及均为复常数下面我们讨论幂级数的收敛集合显然，名，是级数（4.3）的收敛点.对于该幂级数在。外其它点是否收敛的问题.和实变量幂级数一样，有下述阿贝尔（Abel）定理定理4.5如果幂级数（4.3)在点2l（手2）收敏、则级数（1.3）在圆域|<一内绝对收敛证设为圆域-<一内任-点（图4.1(a))因为ZC.(2 - z0)
第四章解析函数的级数表示8480(a)(b)图 4. 1收敛，由定理4.3limC,(z1--2)"=0.因此，存在一个常数M0，对于任意非负整数n均有IC,(z- zo)"I≤ M.于是[C,(2—20)"!=1C(z-20)"M而当1z一21<12一01时，<1,因而级数2(M)收敛.再根据正项级数比较判别法，即知2IC,(2 - 20)1收敛.从而EC(z-2)绝对收敛，由于之在圆域（之一<|之，一名|内的任意性，故定理得证，阿贝尔定理的几何意义是：如果幂级数（4.3）在点1收敛，那么该级数在以。为中心，以&一为半径的圆周内部的任意点之处也一定收敛（图4.1（a）），至于上述级数在圆周一|=「,一|上及其外