1第二章解析函数解析函数足本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章先引人复变函数的导数概念。然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件.它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的丽数·因而特别重要，82.1解析函数的概念2.1.1复变函数的导数设函数=f（）在点。的某邻域内有定义十是定义2.1邻域内征一点一f（十△）一），如果=limf(z+）-J()limAA2存在有限的极限值A，则称f（）在2处可导、A记作（2）或dw，即dzf(z0+Az)-f(z)(2)=lim(2. 1)Az-或A=f()A+ ) (-→0)(2.2)也称df（）=（）或（d为（）在z处的微分，故也称f（2）在20处可微由定义易知，如果f（之）在之：处可导（或可微），则（）在之处连续
/多2.1解析函数的概念33.F(c)±g(2),f(z)g(2)以及()(（g（）≠0）在D上为解析，且有g(2)[f(z) ±g(z) =f(z) ±g(z)/(2)g(z)] =f'(2)g(z) + f(z)g(z),f(z)fi(z)g(α) f(z)g (z)g()[g(2)2此外，很容易知道常数的导数是0，以及(z")"n"（n为自然数），f（）=（）（为常数）（2）复合函数的求导法则设函数E-（z）在区域D内为解析，丽数=g（)在区域G内为解析，又f（D)CGD）表示函数号f（）的值域，也就是区域D的像），则复合函数=g（f（））=h（）在L)内为解析，且有h'(2) = [g((2))] = g(f(2))f(2).（3）反函数的求导法则设函数=f（）在区域D内为解析且f（）≠0，义反函数2f1()=αw)存在且为连续，则1g'(w)f(z)f(o())re)例 2. 3 求函数 5(e)-2十3的解析性区城及该区域上的导4z+1函数。解设P（）=25—+3，Q（）=42十1，P和Q都是z的多项式，由函数（n为任意自然数）在全平面解析的事实以及乘积与和、差的求导法则知P和Q都在全平面解析.而由商的求导法则知当Q（）≠0时f（2）=P（）/Q（）为解析，又方程Q（）=0即4z2+1=0的1=十iI的区域内f（z）解是=因此在全平面除去点AIE2472为解析.）的导数可如下计算：P'(z)Q(±) - P(2)Q(2)f(z)= [Q(z)]
第二章解析函效. 34-（4+1)(101)—(2—+3)(8)(4+ 1)21元10*+1z-21元-1(4z2 + 1)-$2.1.3函数解析的一个充分必要条件设函数一（）在区域D内为解析，根据复变函数与二元实变函数的联系，我们自然要问：作为解析函数的实部与虚部的两个一元函数有什么特性？下述定理回答了这个问题定理2.1函数(）(,y)+i()在=+iy处导的充要条件是，u(.y),y)在点（r.y)处可微，而直满足柯西一黎曼（Cauchy-Riemann）方程（简称C-R方程）：(2.3)滋clr证先证必要，设f(）在一iv处可导，记作（）=十、则由（2.2)式有f(+）-f()=a+)+)= (α + ib)(4t -) + 0(1a1)其中f（+）f（z）=u十i,=r+idy分开实部和虚部，得w(r+Ary+Ay)-(r,y)=bay+o(Al),v(r + Ar,y + Ay) u(r.y) = Ar + aay+ o(ldl).可见u(y)及u(r,y)在点r,y)处可微.并有uh-a=a=-b-"ayar再证充分性.设u，u在（a，y）处可微且（2.3）式成立.则有Au =u(r,y)Ar + u,(r.y)Ay + o(iAzi),A - v(I.y)Ar + v(r.y)Ay + o(IAD).于是由(2.3)式知AwAu+=[u(,y) + iv(+y)(Ar iv) + o([Az),因而
132.1解析函数的概念-35A0=us(r.y) + iv'(r,)=a--bi.limA23由上讨论可见，当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算'(z).chtn+idP()=ar-aradr.ia-a-ia(2. 4)arayythy注意，C-R条件只是函数，（）可导的必要条件而并非充分条件这个道理可以很简单地说明因为，一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点为连续，更不要说在该点为可微了，例如取两个函数u(ry)与(r.)如下：xy+y≠0,2+32u(r,y) = w(,y) s1o.+y = 0,再令f(）=ury）+iu（y）则f（）在2=0这点就满足=02=0ar-ayardy但f（）在20处不连续的，从而是不可导的如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论，定理2.2函数f（）=u（xy）十iu（r，y)在区域D内解析（即在D)内可导）的充要条件是，u（r，y）和v(r，v）在ID内处处可微，而且满足 C-R方程.推论设（）一u(y)十iw(，y)在区域D内有定义，如果在D内ury)和wy的四个偏导数u，u，，存在且连续，并且满足C-R方程，则f（）在D内解析证由于u（，y)和ry)具有阶连续偏导数，因而u(y和u(y)在D内可微.由定理2.2知f(）在1内解析上述定理提供了判断函数（2）在区域I）内是否解析（或在某点是否可导）的方法，即F（z）在D内不满足CR方程，则f（z）在D内不解析：如果在D内满足C-R方程，而Hu和"具有-阶连续偏导数，则
第二章36解析函数厂（z）在D内解析.并给出了一个简洁的导数公式（2.4）例2.4讨论下列函数的可导性和解析性、(1) w-Re 2; (2)w= [z]2;(3)f(z)=e(cos y+isin y)解（1）因为u=1，=0,日2=1，0.=0，d=oardyaz小可知C-R方程不满足，所以w二Rc在复平面内处处不可导，从而也处处不解析，(2)效二|22十,所以十,=0.且au=2x,3y=0at= 2y,ar=0ardy可见C-R方程只在点（0，0）成立.由定理2.1知该函数在2=0处可导且由（2.4）知（0）一0.对于其它之≠0的点，这个函数不可导，所以这个函数在之一0处不解析.从而在复平面上处处不解析，(3)因为u-e'cos y,u=e'sin y,且tu孔te'cosyaye'sinyare'sinyaye'cosy,ar从而C-R方程满足，并且由于上面四个一阶偏导数均连续，所以f（z）在复平而内处处可导，故也处处解析.根据（2.4)式，有f(e)=a+ia=e(cos y+isiny) =f(z).arar例2.5如果厂(z）在区域D内解析，而且满足下列条件之一，则f(z)在D内为常数(1)f(z)=0；（2)Re(z)=常数；（3）|f(z)/为常数utaama:chrau证(1) 由f(z):一一0和=axiaay-ayayaxay0,故u，V都是常数，从面f(z)在D内为常数(2）因为u二常数,故豊一号daau一0.由C-R方程知字0，所以atraydrayf(z)为常数