西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY矩阵的秩$3.4矩阵的行秩、列秩、秩矩阵的秩的有关结论二、三、矩阵秩的计算
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY列秩、秩一、矩阵的行秩、aua12a21a22121定义设A=as1asnas2则矩阵A的行向量组(ai,ai2,...,ain), i=1,2,...,s的秩称为矩阵A的行秩：avjanjj=1,2,.,n矩阵A的列向量组:asj的秩称为矩阵A的列秩
一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义 的秩称为矩阵A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i in a a a i s = 的秩称为矩阵A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 1 2 , 1,2, , j j sj a a j n a = 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a = 设
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY引理如果齐次线性方程组auxj +ax,+..+ainx, = 0(1)a21 + a2xX2 +... + a2nxn = 0[asix, +asx, +..+asnx,=0(an al2 ..aina21 A22 ...azn的系数矩阵 A=(as1 as2 .. asn )的行秩 r<n，那么它有非零解(若(1)只有零解，则 r≥n．）
引理 如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （ 1 ） 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a = 的行秩 r n ，那么它有非零解． （若(1)只有零解，则 r n . ）
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：设矩阵A的行向量组α, =(ai,ai2,..",ain), i=1,2,...,s的秩为r，且不妨设α,α2,,α,为其一个极大无关组由于向量组k,,kz,,α与向量组α,αz,.…,α,等价，于是方程组(1)与方程组(1')是同解的ax +ai2X,+...+anx, = 0a21i + a22X, +... + a2nx, = 0(1)0[arX +ar2X, +... +amX,= 0在(1)中 r<n，所以(1)有非零解，从而(1)有非零解
证： 的秩为r， 设矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s 且不妨设 1 2 为其一个极大无关组. , , , r 于是方程组(1)与方程组(1')是同解的. 由于向量组 k k 2 2 , , , s 与向量组 1 2 , , , r 等价， 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （1'） 在(1')中 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解. r n
西要毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY定理4矩阵的行秩一矩阵的列秩，证明：设A=(a)sxn，A的行秩=r，A的列秩=ri,下证r=r． 先证r≥r.设A的行向量组为α,=(au,aiz,,ain)，i=1,2,,s则向量组α,α,,,α,的秩为r不妨设α,αz,,α,是它的一个极大无关组,于是αα2,,α线性无关
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 证明：设 ，A的行秩＝r，A的列秩＝r A a = ( )ij s n 1， 下证 r r = 1． 先证 r r 1 ． 则向量组 1 2 , , , ,s 的秩为r， 不妨设 1 2 , , , r 是它的一个极大无关组， 于是 1 2 , , , r 线性无关， 设A的行向量组为 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s