北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.7）不变子空间

于是τ((5)=(5)=a(5)=a(x(5)=0(0)=0. O()∈r 故τ (0) 为σ的不变子空间 注 ∴f(o)=∫()o σ的多项式∫(σ)的值域与核都是σ的不变子空间 这里f(xP[x中任一多项式

6 于是            ( ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ) = = = = = ( ) ( ) 1    ( ) 0 . −   故 ( ) 为 的不变子空间. 1  0 −    的多项式 f ( )  的值域与核都是  的不变子空间. 这里 f x( ) 为 P x[ ] 中任一多项式.     f f ( ) ( ) = 注：

3)任何子空间都是数乘变换K的不变子空间 线在频小得征手是的不变子空间 5宙特在高H短的等互前是的不变子空间 证:设1,a2,…,是σ的分别属于特征值 1,12,…λ的特征向量.任取5∈L(a1,a2 号 设5=ka1+k2a2+…+k,则 ()=k1101+k2a2+…+ka∈L(1,C2,…,a,) L(a1,a2,…,a,)为σ的不变子空间

7 (    =     W k W , ) 4）线性变换  的特征子空间 是 的不变子空间. 0 V  (   =       V V   o o o , . 有 ( ) ) 5）由  的特征向量生成的子空间是  的不变子空间. 证：设    1 2 , , , s 是  的分别属于特征值 1 2 , , ,   s 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换  的不变子空间. 任取 1 2 ( , , , ), L s      设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) s s s s            = + + +  k k k L 1 2 ( , , , )  L    s 为 的不变子空间

注 特别地,由σ的一个特征向量生成的子空间是一 个一维一子空间.反过来,一个一维一子空间 必可看成是σ的一个特征向量生成的子空间 事实上,若W=L(5)={kk∈P,5≠0} 则为L(5)的一组基.因为W为一子空间, a(5)∈W,即必存在∈P,使0(5)= 5是G的特征向量

8 事实上，若 W L k k P = =   (   )  , 0 .  则  为 L( ) 的一组基. 因为W为  －子空间，    ( ) , W 即必存在   P, 使    ( ) = .   是  的特征向量. 特别地，由  的一个特征向量生成的子空间是一 个一维  －子空间.反过来，一个一维  －子空间 必可看成是  的一个特征向量生成的子空间. 注：

二、在不变子空间W引起的线性变换 定义: 设σ是线性空间V的线性变换,W是V的一个的 不变子空间.把σ看作W上的一个线性变换,称作 在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在 不变子空间W上的限制.记作

9 二、  在不变子空间W引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 . W   在不变子空间W上引起的线性变换，或称作  在 设  是线性空间V的线性变换，W是V的一个  的 不变子空间. 把  看作W上的一个线性变换，称作

注: ①当5∈W时,am(5)=0(5 当5乐时,m(5)无意义 ②a/(W)≤W ③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零 变换,即ao=0; 在特征子空间V上引起的线性变换是数乘变换, 即有口3=4E

10 ① 当  W 时，     W ( ) ( ). = ③ 任一线性变换  在它核上引起的线性变换是零 变换，即 ( ) 1 0 0 ;   − = 即有 0 . V oE   = 注： 当  W 时，   W ( ) 无意义. ②  W (W W )  .  在特征子空间 V0 上引起的线性变换是数乘变换