已知x≠O,所以齐次线性方程组有非零解。 台A-元E=0 01- 012 L 即： 21 022-2L =0 M M M M An Qn2 L 是一个关于的一元次方程 称之为方阵4的特征方程
已知 x O , 所以齐次线性方程组有非零解。 − = A E 0 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − = − 即： L L M M M M L 称之为方阵A的特征方程。 是一个关于的一元n次方程
定义2：对于Ann=(ag）n, 12 L n f4(2)=A-2E= 21 022- ，L M M M M An2 L 是关于九的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式
11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n A n n nn a a a a a a f A E a a a − − = − = − L L M M M M L 定义2： ( ) , n n ij n n A a 对于 = 是关于 的一个多项式，称为矩阵 A 的特征多项式
a-九 1n A的特征方程A-2E=0 21 422- ，L =0 M M M M 是一个关于2的一元n次方程。 am 0n2 L →阶方阵有个特征值。 有n个解 A的属于特征值的特征向量就是齐次线性方程组 (A-E)=O的所有的非零解
11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − = − L L M M M M L A A E - 0 n 的特征方程 = 是一个关于 的一元 次方程。 有n个解 n n 阶方阵有 个特征值。 ( - ) A A E O = 的属于特征值 的特征向量就是齐次线性方程组 的所有的非零解
求特征值、特征向量： ()A-九E=0 求全部的特征值几1,22，.，2n; (2)Ax=.x→A-元E)x=0 把得到的特征值2，代入上式， 求出齐次线性方程组(A-2,E)x=0的一个基础解系 51,52,.,5 方阵A的属于特征值2，的全部特征向量可表示为： x=k151+k52+.+k5
求特征值、特征向量： (1) 0 A E − = 求全部的特征值 1 2 , , , n ; (2) Ax x = − = ( A E x ) 0 把得到的特征值 i 代入上 式， 求出齐次线性方程组 ( A E x − = i ) 0 的一个基础解系 1 2 , , , .t 方阵 A 的属于特征值i的全部特征向量可表示为： 1 1 2 2 . t t x k k k = + + +
-1 例1：求矩阵A= -4 3 0 的特征值和全部特征向量。 0 解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 -1-λ 0 A-元E= -4 3- 0 =0 1 0 2- (2-)(2-1)2=0 特征值为21=2,22=入3=1
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量。 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − A E − = 1 1 0 4 3 0 0 1 0 2 − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − = 特征值为 1 2 3 = = = 2, 1