第十二章第四节函数展开成幂级数两类问题在收敛域内8求和antn和函数 S(x)2幂级数展开n=0本节内容：一、泰勒（Taylor）级数二、函数展开成幂级数HIGH EDUCATION PRESS
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章
一、泰勒（Taylor）级数若函数 f(x)在xo的某邻域内具有 n +1 阶导数,则在该邻域内有：xof(x)= f(xo)+f'(xo)(x-xo)+x-xo2!XO(x- xo)" + R,(x)n!此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中(n+）)n+1R,(x)=（三在x与xo之间）(x -Xo(n +l)!称为拉格朗日余项HIGH EDUCATION PRESS
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :
则称若函数 f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数,(xof(xo) + f(xo)(x -xo) +XO2!x-xn!为f(x）的泰勒级数待解决的问题1)对此级数，它的收敛域是什么？2)在收敛域上，和函数是否为f(x)？HIGH EDUCATION PRESS
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
设函数f(x)在点xo的某一邻域 U(xo)内具有定理1各阶导数，则f(x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足lim Rn(x)= 0n0XO>(x-xo)", xeU(xo)证明： f(x)=n!n=0f(k)(xo)2ASn+1(x)=x-Xok!k=0f(x)= Sn+i(x)+ Rn(x)lim R,(x)= lim[f(x)- Sn+1(x)]= O, xEU(xo)n→00n0HIGHEDUCATIONPRESS
定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
注:令xo=01.Maclaurin级数f(O)+ f'(O)x -2!n!2.函数在一点的Taylor级数是唯一的HIGHEDUCATION PRESS
令 x0 = 0 注： 1. Maclaurin级数 2. 函数在一点的Taylor级数是唯一的